Soluções Cálculo - Semana 30

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Iniciante

Pelas Regras do Produto e da Cadeia, f'(x)=7x(D(e^{x^2}))+D(7x)e^{x^2}
=7x(D(2x))e^{x^2}+7e^{x^2}=14x^2e^{x^2}+7e^{x^2}
=7e^{x^2}(2x^2+1)

Intemediário

Uma boa dica neste problema e que se use Integração por Substituição. Comece com  x = u^2 e
 u=\sqrt{x} tal que  dx = (2u) du .
Substitua no problema original, tendo-se:
\displaystyle{ \int { 1 \over 1+\sqrt{x} } \,dx } = \displaystyle{ \int { 1 \over 1+u } \, (2u) du }
= \displaystyle{ \int { 2u \over u+1 } \, du }
= \displaystyle{ \int \Big( 2 - {2 \over u+1} \Big) \, du }
= \displaystyle{ \int \Big( 2 - 2{1 \over u+1} \Big) \, du }
= \displaystyle{ 2u - 2 \ln \vert u+1\vert } + C
= \displaystyle{ 2\sqrt{x} - 2 \ln \vert\sqrt{x}+1\vert } + C

Avançado

Divida o intervalo [0,3] em  n partes iguais, cada uma de comprimento  \Delta x_{i} = \displaystyle{ 3-0 \over n } = \displaystyle{ 3 \over n }
para  i=1, 2, 3, ..., n . Seja c_{i} um número em [0,3] escolhido arbitrariamente:
c_{i} = 0 + \Big( \displaystyle{ 3-0 \over n } \Big) i = \displaystyle{ 3i \over n }
para  i=1, 2, 3, ..., n . A função é f(x) = x^2-1. Então, a integral a ser calculada é:
\displaystyle{ \int^{3}_{0} (x^2-1) \, dx }=\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(c_{i}) \Delta x_{i} }
= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f\Big({ 3i \over n }\Big) \Big({3 \over n}\Big) }
= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \Big( \Big({ 3i \over n } \Big)^2 - 1 \Big) \Big({3 \over n}\Big) } = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \Big( { 9i^2 \over n^2 } - 1 \Big) \Big({3 \over n}\Big) } = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \Big( { 27i^2 \over n^3 } - {3 \over n} \Big) } = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ \sum_{i=1}^{n}{ 27i^2 \over n^3 } - \sum_{i=1}^{n} {3 \over n} \Big\} } = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ { 27 \over n^3 }\sum_{i=1}^{n} i^2 - n \Big({3 \over n}\Big) \Big\} } = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ { 27 \over n^3 }{ n(n+1)(2n+1) \over 6 } - 3 \Big\} }
= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ {9 \over 2}{ n \over n }{ n+1 \over n }{ 2n+1 \over n } - 3 \Big\} }
= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ {9 \over 2}<br />
(1)\Big({ n \over n }+{ 1 \over n }\Big) \Big({ 2n \over n }+{ 1 \over n }\Big) - 3 \Big\} }
= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ {9 \over 2} \Big( 1+{ 1 \over n }\Big) \Big(2+{ 1 \over n }\Big) - 3 \Big\} }
= \displaystyle{ {9 \over 2}(1+0)(2+0) - 3 }
=6

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