Soluções Cálculo - Semana 31

Iniciante

$\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{x+7}{3x+5}="\frac{-\infty}{-\infty}"$
Este limite induz uma indeterminação, $"\frac{-\infty}{-\infty}"$. Portanto, o truque aqui é modificar de alguma forma uma expressão que não se consegue trabalhar para uma mais simples, como a seguir:
$=\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{(x+7)\frac{1}{x}}{(3x+5)\frac{1}{x}}$
$=\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{1+\frac{7}{x}}{3+\frac{5}{x}}$
Como $x \rightarrow -\infty$, $7/x$ e $5/x$ tendem a zero:
$=\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{1+0}{3+0}=\frac{1}{3}$

Intermediário

Por Integração por Substituição, seja $u = 2x+3$
tal que $du = 2 dx$ ou $(1/2) du = dx$. Substituindo no problema original:
$\displaystyle{ \int 7^{2x+3} \, dx } = \displaystyle{ \int 7^u \, (1/2) du }$
$=\displaystyle{ (1/2) \int 7^u \, du }=(1/2) \displaystyle{ { 7^u \over \ln 7 } + C }=\displaystyle{ { 7^{2x+3} \over 2 \ln 7 } + C }$
$=\displaystyle{ { 7^{2x+3} \over \ln 7^2 } + C }=\displaystyle{ { 7^{2x+3} \over \ln 49 } + C }$

Avançado

Por Integração por Partes, seja $u = \arcsin 2x \ \ $ e $dv=dx$ tal que $du = \displaystyle{ 1 \over \sqrt{ 1 - (2x)^2 } } (2) dx = \displaystyle{ 2 \over \sqrt{ 1 - 4x^2 } } dx \ \ $ e $\ \ v = x$ .
Portanto, $\displaystyle{ \int \arcsin 2x \, dx } = x \arcsin 2x - \displaystyle{ \int x { 2 \over \sqrt{ 1 - 4x^2 } } \, dx }$
$= x \arcsin 2x - \displaystyle{ 2 \int {x \over \sqrt{ 1 - 4x^2 } } \, dx }$
Agora use Integração por Substituição. Seja $u = 1 - 4x^2$
tal que $du = -8x \ dx$ ou $(-1/8) du = x \ dx$. Então
$\displaystyle{ \int \arcsin 2x \, dx } = x \arcsin 2x - \displaystyle{ 2\int {x \over \sqrt{ 1 - 4x^2 } } \, dx }$
$=x \arcsin 2x - \displaystyle{ 2\int {1 \over \sqrt{ 1 - 4x^2 } } \, x \ dx }$
$=x \arcsin 2x - \displaystyle{ 2\int {1 \over \sqrt{ u }} \, (-1/8) du }$
$=x \arcsin 2x + \displaystyle{ (1/4) \int {1 \over \sqrt{ u }} \, du }$
$=x \arcsin 2x + \displaystyle{ (1/4) \int u^{-1/2} \, du }$
$=x \arcsin 2x + (1/4) \displaystyle{ { u^{1/2} \over (1/2) } }+C$
$=x \arcsin 2x + (1/2) \displaystyle{ (1-4x^2)^{1/2} }+C$
$=x\arcsin 2x + (1/2) \sqrt{ 1-4x^2 }+C$