Soluções Cálculo - Semana 31

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Iniciante

\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{x+7}{3x+5}=
Este limite induz uma indeterminação, . Portanto, o truque aqui é modificar de alguma forma uma expressão que não se consegue trabalhar para uma mais simples, como a seguir:
=\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{(x+7)\frac{1}{x}}{(3x+5)\frac{1}{x}}
=\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{1+\frac{7}{x}}{3+\frac{5}{x}}
Como x \rightarrow -\infty, 7/x e 5/x tendem a zero:
=\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{1+0}{3+0}=\frac{1}{3}

Intermediário

Por Integração por Substituição, seja u = 2x+3
tal que du = 2 dx ou (1/2) du = dx. Substituindo no problema original:
\displaystyle{ \int 7^{2x+3} \, dx } = \displaystyle{ \int 7^u \, (1/2) du }
=\displaystyle{ (1/2) \int 7^u \, du }=(1/2) \displaystyle{ { 7^u \over \ln 7 } + C }=\displaystyle{ { 7^{2x+3} \over 2 \ln 7 } + C }
=\displaystyle{ { 7^{2x+3} \over \ln 7^2 } + C }=\displaystyle{ { 7^{2x+3} \over \ln 49 } + C }

Avançado

Por Integração por Partes, seja  u = \arcsin 2x \ \ e dv=dx tal que  du = \displaystyle{ 1 \over \sqrt{ 1 - (2x)^2 } } (2) dx = \displaystyle{ 2 \over \sqrt{ 1 - 4x^2 } } dx \ \ e  \ \ v = x .
Portanto,  \displaystyle{ \int \arcsin 2x \, dx } = x \arcsin 2x - \displaystyle{ \int x { 2 \over \sqrt{ 1 - 4x^2 } } \, dx }
 = x \arcsin 2x - \displaystyle{ 2 \int {x \over \sqrt{ 1 - 4x^2 } } \, dx }
Agora use Integração por Substituição. Seja  u = 1 - 4x^2
tal que du = -8x \ dx ou (-1/8) du = x \ dx. Então
\displaystyle{ \int \arcsin 2x \, dx } = x \arcsin 2x - \displaystyle{ 2\int {x \over \sqrt{ 1 - 4x^2 } } \, dx }
=x \arcsin 2x - \displaystyle{ 2\int {1 \over \sqrt{ 1 - 4x^2 } } \, x \ dx }
=x \arcsin 2x - \displaystyle{ 2\int {1 \over \sqrt{ u }} \, (-1/8) du }
=x \arcsin 2x + \displaystyle{ (1/4) \int {1 \over \sqrt{ u }} \, du }
=x \arcsin 2x + \displaystyle{ (1/4) \int u^{-1/2} \, du }
=x \arcsin 2x + (1/4) \displaystyle{ { u^{1/2} \over (1/2) } }+C
=x \arcsin 2x + (1/2) \displaystyle{ (1-4x^2)^{1/2} }+C
=x\arcsin 2x + (1/2) \sqrt{ 1-4x^2 }+C

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