Cálculo - Semana 4

Iniciante

Assuma que $y$ é uma função de $x$, e ache

$$y'=\frac{dy}{dx}$$

para $x^3+y^3=4$.

Intermediário

Em um determinado país, a procura por um produto derivado do petróleo em função do tempo é dada por:

$$f(t)=sec(t)tan(t)\sqrt{4+3sec(t)}$$

em razão da absurda inflação que o está assolando. Um economista quer saber, entre outras informações, a área do gráfico da função, ou seja, quer descobrir:

$$\displaystyle \int sec(t)tan(t)\sqrt{4+3sec(t)}dt$$

e depois, saber o que deve fazer para equilibrar o tesouro da nação (mas este problema não vem ao caso no momento). Ajude-o!

Avançado

Prove que

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=1$$

Dica: Utilize a regra de L'Hospital!