Soluções Cálculo - Semana 4

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Iniciante

Começaremos com x^3+y^3=4. Já que queremos saber y', diferenciamos ambos os lados da equação, obtendo:

d(x^3+y^3)=d(4)

!3x^2+3y^2y'=0

Agora, resolvendo para y', temos:

3y^2y'=-3x^2

Logo

y'=\frac{-3x^2}{3y^2}=\frac{-x^2}{y^2}

Intermediário

Podemos usar neste exercício a regra de integração de substituição em u! Então, definindo u=4+3sec(t), ao derivarmos os dois lados desta equação, temos du=3sec(t)tan(t)dx ou \frac{1}{3}du=sec(t)tan(t)dx. Substituindo na integral, temos:

\displaystyle \frac{1}{3}\int \sqrt{u}du

\displaystyle \frac{1}{3}\int u^\frac{1}{2}du

Achando sua antiderivada, temos:

\frac{1}{3}\frac{u^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+C

Agora, resubstituindo o u, teremos, finalmente:

\frac{2}{9}(4+3sec(t))^\frac{3}{2}+C

Avançado (Solução adaptada de Humberto Borges)

Este é um limite fundamental, porque exemplifica bem a ideia deste tipo de operação e aborda um problema comum: às vezes, acontece de o numerador e denominador tenderem a zero ou a algum outro valor (geralmente zero), e o limite ser de um quociente indefinido, do tipo "\frac{0}{0}" ou "\frac{\infty}{\infty}". Daí entra a regra de L'Hospital, que diz que o limite de uma fração é o limite da divisão da derivada do numerador pela derivada do numerador, como em:

\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Então:

\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{cos(x)}{1}


Logo, o limite não tem mais indeterminações e é igual a:

\lim \limits_ {x \rightarrow 0} cos(x)=1

Desta forma, provamos que

\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=1

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