Soluções Cálculo - Semana 4

Iniciante

Começaremos com $x^3+y^3=4$. Já que queremos saber $y'$, diferenciamos ambos os lados da equação, obtendo:

$$d(x^3+y^3)=d(4)$$

$$!3x^2+3y^2y'=0$$

Agora, resolvendo para $y'$, temos:

$$3y^2y'=-3x^2$$

Logo

$$y'=\frac{-3x^2}{3y^2}=\frac{-x^2}{y^2}$$

Intermediário

Podemos usar neste exercício a regra de integração de substituição em $u$! Então, definindo $u=4+3sec(t)$, ao derivarmos os dois lados desta equação, temos $du=3sec(t)tan(t)dx$ ou $\frac{1}{3}du=sec(t)tan(t)dx$. Substituindo na integral, temos:

$$\displaystyle \frac{1}{3}\int \sqrt{u}du$$

$$\displaystyle \frac{1}{3}\int u^\frac{1}{2}du$$

Achando sua antiderivada, temos:

$$\frac{1}{3}\frac{u^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+C$$

Agora, resubstituindo o $u$, teremos, finalmente:

$$\frac{2}{9}(4+3sec(t))^\frac{3}{2}+C$$

Avançado (Solução adaptada de Humberto Borges)

Este é um limite fundamental, porque exemplifica bem a ideia deste tipo de operação e aborda um problema comum: às vezes, acontece de o numerador e denominador tenderem a zero ou a algum outro valor (geralmente zero), e o limite ser de um quociente indefinido, do tipo "$\frac{0}{0}$" ou "$\frac{\infty}{\infty}$". Daí entra a regra de L'Hospital, que diz que o limite de uma fração é o limite da divisão da derivada do numerador pela derivada do numerador, como em:

$$\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Então:

$$\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{cos(x)}{1}$$

Logo, o limite não tem mais indeterminações e é igual a:

$$\lim \limits_ {x \rightarrow 0} cos(x)=1$$

Desta forma, provamos que

$$\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=1$$