Soluções Cálculo - Semana 5

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Iniciante

Este problema é bem simples. Sabemos que derivada da posição é velocidade, portanto basta derivar

s=-sin(x)\Longrightarrow s'=v

Sabemos também, pela propriedade de derivadas e integrais de funções trigonométricas como seno e cosseno, que a derivada de -sin(x)-cos(x). Logo, a velocidade do carrinho será:

-cos(1.42)\simeq -0,15 u.v.

Intermediário

Sabendo que a taxa (derivada) de clientes que chegam ao balcão é

F(t)=12+6cos(t/\pi)

ao integrarmos esta taxa, encontraremos o número aproximado (já que estamos lidando com pessoas e praticamente não dá para dividi-las, se não somos presos por homicídio doloso ou por tortura) de clientes - que chegam ao balcão. Logo,

\displaystyle \int_{0}^{60} 12+6cos(t/\pi)dt

será nosso objetivo. Isso é igual a

\displaystyle \int_{0}^{60} 12dt + \displaystyle \int_{0}^{60}6cos(t/\pi)dt

Que é igual a (achando as antiderivadas e colocando-as nos intervalos dados) 12t nos intervalos de 0 a 60 mais 6\pi(sin(t/\pi)) também nos intervalos de 0 a 60.
Ou seja,

12\cdot(60)-12\cdot(0)+6\pi(sin(60/\pi))-6sin(0)

que é, aproximadamente, 725 pessoas!

Avançado

O truque aqui (além de construir uma máquina do tempo) é utilizar o método de integração de decomposição em frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:

\displaystyle \int \frac{x^2+x+1}{x(x+1)(x-1)}dx=\displaystyle \int \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}dx

Então, depois de acharmos um denominador comum e adicionarmos frações, teremos:

A(x+1)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x+1)=x^2+x+1

Agora, podemos atribuir valores a x para encontrarmos A, B e C: se

x=0\Longrightarrow A\cdot(-1)+B\cdot(0)+C\cdot(0)=-1\Longrightarrow A=-1

Reparem o zero, que cancela B e C e nos faz saber A. Outro valor de propriedade semelhante é:

x=-1\Longrightarrow A\cdot(0)+B\cdot(2)+C\cdot(0)=-1\Longrightarrow B=-\frac{1}{2}

Novamente,

x=1\Longrightarrow A\cdot(0)+B\cdot(0)+C\cdot(2)=1\Longrightarrow C=\frac{1}{2}

Agora, substituindo na integral o que encontramos, teremos:

\displaystyle \int \frac{1}{x}+\frac{\frac{-1}{2}}{x+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}dx=\displaystyle \int \frac{1}{x}-\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{x-1}dx

Logo, nosso resultado será:

\ln\left|x\right|-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|+C

\ln\left|x\right|+\frac{1}{2}[\ln\left|x-1\right|-\ln\left|x+1\right|]+C

Como

\ln\left|m\right|-ln\left|n\right|=\ln\left|\frac{m}{n}\right|

teremos:

ln\left|x\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C


Tendo isso em mãos, agora você pode conseguir ajudá-los e receber seus queridos autógrafos nerds como recompensa! Viva o Cálculo (e a Viagem no Tempo)!!!

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