Soluções Cálculo - Semana 6

Iniciante

A taxa de fabricação de sorvetes na fábrica é o quanto a quantidade de sorvetes já fabricados no dia varia com o tempo, ou seja, a derivada da quantidade de sorvetes já produzidos. Portanto, para descobrir quantos sorvetes são fabricados na fábrica durante o período de 8 horas de trabalho em um dia, basta integrar a função $S$ de $t=0$ até $t=8$:

$$\int_{0}^{8} \frac{t}{2}dt = {\frac{1}{2}\cdot\frac{t^2}{2}}$$

$$=\frac{1}{2}\cdot\frac{8^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{0^2}{2}=\frac{64}{4}=16$$

Intermediário

Transformando $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ em um produto, temos $h(x)=f(x)\cdot [g(x)^{-1}]$. Logo, pela regra de derivação do produto, teremos:

$$h'(x) = \frac{d[f(x)]}{dx\cdot g(x)}+f(x)\cdot \frac{d[g(x)^{-1}]}{dx}$$

E, pela regra da cadeia:

$$\frac{d[g(x)^{-1}]}{dx}=\frac{-g'(x)}{g^2(x)}$$

Substituindo essa expressão na expressão encontrada para $h'(x)$, temos, finalmente:

$$h'(x) = \frac{f'(x)}{g(x)}-f(x)\cdot \frac{g'(x)}{g^2(x)}\Longrightarrow h'(2)=\frac{14}{2}-4\cdot\frac{6}{2^2}=1$$

Regra da cadeia e regra do produto pode ser encontrada neste link.

Avançado (Solução adaptada de Humberto Borges)

Pudemos encontrar o resultado dessa integral por meio do método de integração por substituição, e o consideramos um meio bem simples de fazê-lo, mas você pode resolver de outras maneiras, contanto que chegue ao mesmo resultado! Nosso truque aqui foi substituir não somente $2x$ por $u$, mas sim a expressão toda: $e^{2x}$. Logo, temos que:

$$u=e^{2x}\Longrightarrow 2e^{2x}dx=du\Longrightarrow dx=\frac{du}{2e^{2x}}\Longrightarrow dx=\frac{du}{2u}$$

Colocando isso na integral, temos:

$$\displaystyle \int e^{2x}tan^2(e^{2x})dx=\displaystyle \int u\cdot tan^2u\cdot \frac{du}{2u}=\frac{1}{2}\displaystyle \int tan^2(u)du$$

Lembrando a relação trigonométrica de que $tan^2u=sec^2u-1$, temos:

$$\frac{1}{2}\displaystyle \int tan^2(u)du=\frac{1}{2}\displaystyle \int sec^2 u\cdot du- \frac{1}{2}\displaystyle \int 1\cdot du$$

E, como $\frac{d}{du}\cdot tan(u)=sec^2u$, temos:

$$\frac{1}{2}\displaystyle \int \frac{d}{du}\cdot tan (u)\cdot du-\frac{1}{2}\displaystyle \int du=\frac{1}{2}tan(u) - \frac{1}{2}\cdot u +C$$

Ou seja:

$$\frac{1}{2}tan(e^{2x})-\frac{1}{2}\cdot (e^{2x})+C$$