Soluções Cálculo - Semana 6

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Iniciante

A taxa de fabricação de sorvetes na fábrica é o quanto a quantidade de sorvetes já fabricados no dia varia com o tempo, ou seja, a derivada da quantidade de sorvetes já produzidos. Portanto, para descobrir quantos sorvetes são fabricados na fábrica durante o período de 8 horas de trabalho em um dia, basta integrar a função S de t=0 até t=8:

\int_{0}^{8} \frac{t}{2}dt = {\frac{1}{2}\cdot\frac{t^2}{2}}

=\frac{1}{2}\cdot\frac{8^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{0^2}{2}=\frac{64}{4}=16

Intermediário

Transformando h(x)=\frac{f(x)}{g(x)} em um produto, temos h(x)=f(x)\cdot [g(x)^{-1}]. Logo, pela regra de derivação do produto, teremos:

h'(x) = \frac{d[f(x)]}{dx\cdot g(x)}+f(x)\cdot \frac{d[g(x)^{-1}]}{dx}

E, pela regra da cadeia:

\frac{d[g(x)^{-1}]}{dx}=\frac{-g'(x)}{g^2(x)}


Substituindo essa expressão na expressão encontrada para h'(x), temos, finalmente:

h'(x) = \frac{f'(x)}{g(x)}-f(x)\cdot \frac{g'(x)}{g^2(x)}\Longrightarrow h'(2)=\frac{14}{2}-4\cdot\frac{6}{2^2}=1

Regra da cadeia e regra do produto pode ser encontrada neste link.

Avançado (Solução adaptada de Humberto Borges)

Pudemos encontrar o resultado dessa integral por meio do método de integração por substituição, e o consideramos um meio bem simples de fazê-lo, mas você pode resolver de outras maneiras, contanto que chegue ao mesmo resultado! Nosso truque aqui foi substituir não somente 2x por u, mas sim a expressão toda: e^{2x}. Logo, temos que:

u=e^{2x}\Longrightarrow 2e^{2x}dx=du\Longrightarrow dx=\frac{du}{2e^{2x}}\Longrightarrow dx=\frac{du}{2u}

Colocando isso na integral, temos:

\displaystyle \int e^{2x}tan^2(e^{2x})dx=\displaystyle \int u\cdot tan^2u\cdot \frac{du}{2u}=\frac{1}{2}\displaystyle \int tan^2(u)du

Lembrando a relação trigonométrica de que tan^2u=sec^2u-1, temos:

\frac{1}{2}\displaystyle \int tan^2(u)du=\frac{1}{2}\displaystyle \int sec^2 u\cdot du- \frac{1}{2}\displaystyle \int 1\cdot du

E, como \frac{d}{du}\cdot tan(u)=sec^2u, temos:

\frac{1}{2}\displaystyle \int \frac{d}{du}\cdot tan (u)\cdot du-\frac{1}{2}\displaystyle \int du=\frac{1}{2}tan(u) - \frac{1}{2}\cdot u +C

Ou seja:

\frac{1}{2}tan(e^{2x})-\frac{1}{2}\cdot (e^{2x})+C

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