Soluções Cálculo - Semana 7

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Iniciante

Como deve perceber, à medida que x vai tendendo a 9, tanto o numerador quanto o denominador vão tendendo a zero. Portanto, precisamos reorganizar a expressão para que possamos tirar essa indeterminação. Poderíamos usar a regra de L'ospital, mas, para simplificar, uma outra forma de fazer isso é:

\lim\limits_ {x \rightarrow 9} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}=\lim\limits_ {x \rightarrow 9} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}\cdot \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}=\lim\limits_ {x \rightarrow 9} \frac{(x-9)(\sqrt{x}+3)}{x-9}=\lim\limits_ {x \rightarrow 9} \sqrt{x}+3=6

Intermediário

Para ajudarmos Günter, precisamos derivar a função da topografia. Logo, teremos, pela regra do produto:

x^2\cdot d[arcsin(x)]+d[x^2]\cdot arcsin(x)

Ou seja,

x^2\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+2x\cdot arcsin(x)

Avançado

Aqui, o problema já requere uma complexidade um pouco maior. Primeiro, podemos achar as medidas do triângulo formado pelo chão, parede e escada, estes dois últimos representados pelos eixos x e y, respectivamente.

graficoescada
Logo, admitindo que a parede, no instante inicial, tem altura h, teremos:

\frac{h}{2}=tan(60) \rightarrow h\simeq 2\sqrt{3}

Depois, pelo teorema de Pitágoras, o comprimento da escada, chamado aqui de L - que é constante - é:

L^2=2^2+(2\sqrt{3})^2 \rightarrow L=4

Depois, por uma relação entre o x e o y de um círculo, temos:

2\cdot x(t)\cdot \frac{dx}{dt}+2\cdot h(t)\cdot \frac{dh}{dt}=0

Ou seja, \displaystyle \frac{dx}{dt} nós sabemos, que é 10 cm/s, e \displaystyle \frac{dh}{dt} é o que queremos saber: como que a altura varia à medida que a escada cai. Logo, teremos:

\frac{dh}{dt}=-\frac{x(t)}{h(t)}\cdot \frac{dx}{dt}

(Quando h diminui, x aumenta e vice-versa)

-\frac{2\cdot 100cm}{2\sqrt{3}\cdot 100cm}\cdot 10cm/s

Logo,

\frac{dh}{dt}=-\frac{10\sqrt{3}}{3} cm/s

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