Soluções Cálculo - Semana 7

Iniciante

Como deve perceber, à medida que $x$ vai tendendo a $9$, tanto o numerador quanto o denominador vão tendendo a zero. Portanto, precisamos reorganizar a expressão para que possamos tirar essa indeterminação. Poderíamos usar a regra de L'ospital, mas, para simplificar, uma outra forma de fazer isso é:

$$\lim\limits_ {x \rightarrow 9} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}=\lim\limits_ {x \rightarrow 9} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}\cdot \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}=\lim\limits_ {x \rightarrow 9} \frac{(x-9)(\sqrt{x}+3)}{x-9}=\lim\limits_ {x \rightarrow 9} \sqrt{x}+3=6$$

Intermediário

Para ajudarmos Günter, precisamos derivar a função da topografia. Logo, teremos, pela regra do produto:

$$x^2\cdot d[arcsin(x)]+d[x^2]\cdot arcsin(x)$$

Ou seja,

$$x^2\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+2x\cdot arcsin(x)$$

Avançado

Aqui, o problema já requere uma complexidade um pouco maior. Primeiro, podemos achar as medidas do triângulo formado pelo chão, parede e escada, estes dois últimos representados pelos eixos $x$ e $y$, respectivamente.

Logo, admitindo que a parede, no instante inicial, tem altura $h$, teremos:

$$\frac{h}{2}=tan(60) \rightarrow h\simeq 2\sqrt{3}$$

Depois, pelo teorema de Pitágoras, o comprimento da escada, chamado aqui de $L$ - que é constante - é:

$$L^2=2^2+(2\sqrt{3})^2 \rightarrow L=4$$

Depois, por uma relação entre o $x$ e o $y$ de um círculo, temos:

$$2\cdot x(t)\cdot \frac{dx}{dt}+2\cdot h(t)\cdot \frac{dh}{dt}=0$$

Ou seja, $\displaystyle \frac{dx}{dt}$ nós sabemos, que é $10$ $cm/s$, e $\displaystyle \frac{dh}{dt}$ é o que queremos saber: como que a altura varia à medida que a escada cai. Logo, teremos:

$$\frac{dh}{dt}=-\frac{x(t)}{h(t)}\cdot \frac{dx}{dt}$$

(Quando $h$ diminui, $x$ aumenta e vice-versa)

$$-\frac{2\cdot 100cm}{2\sqrt{3}\cdot 100cm}\cdot 10cm/s$$

Logo,

$$\frac{dh}{dt}=-\frac{10\sqrt{3}}{3} cm/s$$