Soluções Cálculo - Semana 8

Iniciante

a)

$$\lim\limits_ {x \rightarrow \infty} \frac{1}{10x}=0$$

Isto \é, quando temos o denominador tendendo a infinito nesta situação, $"\frac{1}{\infty}"$, o limite tenderá a $0$.
b)

$$\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{x^2+59x+84}{7x+2}=\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{84}{2}=42$$

Neste caso, quando tendemos o $x$ a zero, não há problemas de indefinição e só sobra uma constante, que é o resultado do limite.

c)

$$\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{sin(2x)}{5x^2+7x}=\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{2cos(2x)}{10x+7}=\frac{2}{7}$$

Aqui foi utilizada a regra de L'Hospital, ou seja,

$$\lim\limits_ {x \rightarrow n} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_ {x \rightarrow n} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

quando há uma indeterminação do tipo: $"\frac{0}{0}"$ ou $"\frac{\infty}{\infty}"$, que foi o que fizemos.

Intermediário

Para resolvermos o problema, basta integrar a função dada nos intervalos dados. Logo, a área procurada será:

$$\displaystyle \int_{2}^{10} \frac{5}{x}dx$$

Logo, teremos:

$$5\displaystyle \int_{2}^{10} \frac{1}{x}dx$$

nos intervalos de $2$ a $10$. Finalmente:

$$5ln(10)- 5\cdot ln(2)=5ln(5)\simeq 8,0472m^2$$

 

Avançado (Solução adaptada de Humberto Borges)

O volume total do cano cilíndrico é dado por:

$$20\pi=(\pi r^2)h$$

Portanto

$$h=\frac{20}{r^2}$$

Desejamos minimizar o custo total da construção do cilindro: cilindro $=$ custo total do fundo $+$ custo total do topo $+$ custo total do "corpo" $\rightarrow$ (unidade de custo do fundo)(área do fundo) $+$ (unidade de custo do topo)(área do topo) $+$ (unidade de custo do fundo)(área do fundo) $+$ (unidade de custo do fundo)(área do "corpo"). Ou seja:

$$10(\pi r^2)+10(\pi r^2)+8(2\pi rh)=20\pi r^2+16\pi rh$$

Entretanto, antes de derivarmos o lado direito da equação, vamos escrevê-la como uma função somente de $r$:

$$C=20\pi r^2+16\pi r\cdot \frac{20}{r^2}=20\pi r^2+\frac{320\pi}{r}$$

Agora, derivando para acharmos $r$, temos:

$$C'=40\pi r+320\pi \cdot \frac{-1}{r^2}=40\pi r-\frac{320\pi}{r^2}=\frac{40\pi r^3-320\pi}{r^2}=\frac{40\pi(r^3-8)}{r^2}=0$$

$$40\pi (r^3-8)=0 \longrightarrow r^3-8=0 \rightarrow r=2 (metros)$$

Assim, podemos descobrir a altura do cilindro: $h=\frac{20}{r^2} \rightarrow h=5$ metros! Resolvemos o problema, e o custo total do cilindro será:

$$20\pi \cdot 2^2+\frac{320\pi}{2}\simeq 240\pi \simeq 753,98$$