Soluções Cálculo - Semana 8

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Iniciante

a)

\lim\limits_ {x \rightarrow \infty} \frac{1}{10x}=0

Isto \é, quando temos o denominador tendendo a infinito nesta situação, , o limite tenderá a 0.
b)

\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{x^2+59x+84}{7x+2}=\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{84}{2}=42

Neste caso, quando tendemos o x a zero, não há problemas de indefinição e só sobra uma constante, que é o resultado do limite.

c)

\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{sin(2x)}{5x^2+7x}=\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{2cos(2x)}{10x+7}=\frac{2}{7}

Aqui foi utilizada a regra de L'Hospital, ou seja,

\lim\limits_ {x \rightarrow n} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_ {x \rightarrow n} \frac{f'(x)}{g'(x)}

quando há uma indeterminação do tipo: ou , que foi o que fizemos.

Intermediário

Para resolvermos o problema, basta integrar a função dada nos intervalos dados. Logo, a área procurada será:

\displaystyle \int_{2}^{10} \frac{5}{x}dx

Logo, teremos:

5\displaystyle \int_{2}^{10} \frac{1}{x}dx

nos intervalos de 2 a 10. Finalmente:

5ln(10)- 5\cdot ln(2)=5ln(5)\simeq 8,0472m^2

 

Avançado (Solução adaptada de Humberto Borges)

O volume total do cano cilíndrico é dado por:

20\pi=(\pi r^2)h

Portanto

h=\frac{20}{r^2}

Desejamos minimizar o custo total da construção do cilindro: cilindro = custo total do fundo + custo total do topo + custo total do "corpo" \rightarrow (unidade de custo do fundo)(área do fundo) + (unidade de custo do topo)(área do topo) + (unidade de custo do fundo)(área do fundo) + (unidade de custo do fundo)(área do "corpo"). Ou seja:

10(\pi r^2)+10(\pi r^2)+8(2\pi rh)=20\pi r^2+16\pi rh

Entretanto, antes de derivarmos o lado direito da equação, vamos escrevê-la como uma função somente de r:

C=20\pi r^2+16\pi r\cdot \frac{20}{r^2}=20\pi r^2+\frac{320\pi}{r}

Agora, derivando para acharmos r, temos:

C'=40\pi r+320\pi \cdot \frac{-1}{r^2}=40\pi r-\frac{320\pi}{r^2}=\frac{40\pi r^3-320\pi}{r^2}=\frac{40\pi(r^3-8)}{r^2}=0

40\pi (r^3-8)=0 \longrightarrow r^3-8=0 \rightarrow r=2 (metros)

Assim, podemos descobrir a altura do cilindro: h=\frac{20}{r^2} \rightarrow h=5 metros! Resolvemos o problema, e o custo total do cilindro será:

20\pi \cdot 2^2+\frac{320\pi}{2}\simeq 240\pi \simeq 753,98

semana8

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