Soluções Cálculo - Semana 9

Iniciante

Para acharmos os pontos ou valores críticos da função, que é contínua, podemos derivar toda a função e igualar o que acharmos a zero. Assim, encontraremos os pontos candidatos a máximo ou a mínimo! Logo, teremos:

$$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2)$$

Como $f'(x)$ deve ser igual a zero, e como a função é contínua para todo $x$, teremos que os únicos pontos críticos são $x=1$ e $x=2$.

Intermediário

Ao utilizar-se a regra do quociente de derivação, $f'(x)$ será igual a:

$$\frac{[x^2-ln(x)]\cdot d[1+ln(x)]-[(1+ln(x)]\cdot d[x^2-ln(x)]}{[x^2-ln(x)]^2}$$

$$=\frac{(x^2-ln(x))(0+\frac{1}{x})-(1+ln(x))(2x-\frac{1}{x})}{[x^2-ln(x)]^2}$$

$$=\frac{x-\frac{ln(x)}{x}-(2x-\frac{1}{x}+2x\cdot ln(x)-\frac{ln}{x})}{[x^2-ln(x)]^2}$$

$$=\frac{x-\frac{ln(x)}{x}-2x+\frac{1}{x}-2x\cdot ln(x)+\frac{ln(x)}{x}}{[x^2-ln(x)]^2}$$

$$=\frac{\frac{1}{x}-x-2x\cdot ln(x)}{[x^2-ln(x)]^2}$$

Agora, para simplificar a expressão, podemos fazer o seguinte:

$$(\frac{1}{x}+(-x-2x\cdot ln(x))\frac{x}{x})\cdot \frac{1}{[x^2-ln(x)]^2}$$

$$=\frac{1-x^2-2x^2ln(x)}{x}\cdot \frac{1}{[x^2-ln(x)]^2}$$

$$=\frac{1-x^2-2x^2\cdot ln(x)}{x[x^2-ln(x)]^2}$$

 

Avançado

Para integrarmos o que nos foi dado, um jeito é usar as regras de integração mesmo e, depois, pelo método de integração por substituição, chegar ao resultado final. Assim, podemos definir inicialmente um $v$ como: $v=arcsin(3x)$. Assim,

$$dv=3\cdot \frac{1}{\sqrt{1-(3x)^2}}dx$$

$$=\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}dx$$

Logo,

$$\displaystyle \int arcsin(3x)dx=x\cdot arcsin(3x)-\displaystyle \int x\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}dx$$

Agora, realmente por substituição em $u$, temos: $u=1-9x^2$ $\longrightarrow$ $du=-18x\cdot dx$ Então:

$$\displaystyle \int arcsin(3x)dx=x\cdot arcsin(3x)-3\displaystyle \int x\frac{1}{\sqrt{1-9x^2}}dx=x\cdot arcsin(3x)-3\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot \frac{-1}{18}du$$

$$=x\cdot arcsin(3x)+\frac{1}{6}\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{u}}du$$

$$=x\cdot arcsin(3x)+\frac{1}{6}\frac{u^\frac{1}{2}}{1/2}+C$$

Finalmente, substituindo novamente o $u$ por $( 1-9x^2)$, temos, como nosso resultado final:

$$=x\cdot arcsin(3x)+\frac{1}{3}\cdot \sqrt{1-9x^2}+C$$