Soluções Cálculo - Semana 22

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Iniciante

\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} x+1=2

Intermediário

Por integração por partes, sejam  u = x \ \ e  \ \ dv = \sin {x} \ dx , tal que  du=dx \ \ e  \ \ v = -\cos{x} . Assim,  \displaystyle{ \int { x \sin {x}} \,dx } = \displaystyle{ x (-\cos{x}) - \int { (-\cos{x}) } \,dx }
 = \displaystyle{ -x \cos{x} + \int { \cos{x} } \,dx }
 = -x \cos {x} + \sin{x} + C

Avançado

Pontos críticos podem ser encontrados através da expressão: f'(x)=0 (Lema de Fermat). Assim, \frac{1-ln(x)}{x^2}=0 \downarrow ln(x)=1 \downarrow x=e Checando o gráfico da função, percebe-se que f(e) é ponto de máximo relativo porque a sua derivada muda de valores positivos para negativos em x=e.

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