Soluções Física - Semana 25

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Iniciante

Nesse momento a gotinha terá uma velocidade \omegaR apontada na direção da velocidade do ponto que saiu.   Precisamos apenas fazer uma composição de velocidades,chamaremos a velocidades horizontais e verticais da bolinha de v_{x} e v_{y}:

v_{x}=v_{cm}+\omega R cos(\theta)=\omega R (1+cos(\theta))

v_{y}=\omega R sen(\theta)

A partícula começara seu movimento em:

y_{o}=R(1-cos(\theta))

x_{0}=Rsen(\theta)

Pois o pé da circunferência nesse instante será denotado como o ponto zero:

(x,y)_{pe}=(0,0)

Para a partícula chegar em seu alcance devemos fazer ela encostar no chão,logo devemos fazer seu y zerar (Todos os dados já estarão plotados na equação pra y):

y(t)=y_{o}+\omega R sen(\theta) t -\frac{gt^2}{2}=0

t=\frac{\omega R sen(\theta)}{g}(1 \pm \sqrt[2]{1+\frac{2gy_{o}}{\omega ^2 R^2 sen^2 (\theta)}})

x_{t}=x_{o}+v_{x}t=Rsen(\theta)+(v_{cm}+\omega R cos(\theta))\frac{\omega R sen(\theta)}{g}(1 \pm \sqrt[2]{1+\frac{2gy_{o}}{\omega ^2 R^2 sen^2 (\theta)}})

Devemos pegar o sinal de mais,não faz sentido \Delta x negativo se o pneu roda sem deslizar,pois assim,sua velocidade em x teria de ser negativa,e ela nunca é.

x=Rsen(\theta)+\frac{\omega ^2 R^2 (1+cos(\theta))sen(\theta)}{g}(1 + \sqrt[2]{1+\frac{2g(1-cos(\theta))}{\omega ^2 R sen^2 (\theta) }})

 

Intermediário

Como em qualquer bom problemas de órbitas,precisaremos lidar apenas com o momento angular e a energia do sistema sendo conservados.

A energia é (Pegando o começo do trajeto em que não há energia potencial):

E=constante=T+U=\frac{mv_{o} ^2}{2}

O momento angular é:

L=mv_{\theta}r=mv_{o}b

A energia cinética do asteróide é composta por uma parte angular e uma radial,pois:

v^2=v_{r} ^2 +v_{\theta}^2=v_{r} ^2 + \frac{v_{o}^2 b^2}{r^2}

Quando o asteróide parar de se aproximar do planeta (Sua velocidade radial é nula),ele deve começar a se afastar,logo vamos minimizar r impondo a condinção de que v_{r} é zero no correspondente instante

E=T+U=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r}=\frac{mv_{o} ^2 b^2}{2r^2}-\frac{GMm}{r}

Assim,achamos (substituindo E e resolvendo pra r):

r=\frac{GM}{v_{o} ^2 }(\sqrt[2]{1+\frac{v_{o}^4 b^2}{G^2 M^2}}-1)

Se não há colisão:

r>R

Pois assim,se o menor r é maior que R,não existe r maior que R,e assim,não há contato direto entre os dois corpos

 

Avançado

Usaremos conservação de energia e conservação do momento,mas de uma maneira mais compacta.Conservaremos o quadrimomento do sistema.

E é a energia e p é o momento linear.

P=(\frac{E}{c},p)

Obs: Na nossa notação c=1,no final do problema podemos ajustar a resposta para obtermos uma dimensão correta,mas até lá não usaremos c's

Simplesmente(Usaremos P_{x} para indicar o quadrimomento da partícula x):

P_{n}=P_{p}+P_{\nu}+P_{e^-}

P_{n}-P_{\nu}=P_{e^-}+P_{p}

E tirando o módulo dos dois lados:

P_{n}^2+P_{\nu}^2 -2P_{n}.P_{\nu}=P_{e^-}^2+P_{p}^2+2P_{p}.P_{e^-}

O módulo quadrado de um quadrivetor de uma partícula é a massa da mesma,logo,nossa equação é equivalente a:

-2P_{n}.P_{\nu}=M_{e^-} ^2+M_{p} ^2-M_{\nu} ^2 -M_{n} ^2 +2P_{p}.P_{e^-}

O produto escalar entre dois quadrivetores tem o mesmo valor em qualquer referencial,logo,por conveniência usaremos o referencial de repouso do nêutron do lado esquerdo (assim não precisamos ligar para a parte de momento do produto escalar,apenas para a de energia).E do lado direito precisamos ter o produto escalar entre o quadrimomento do próton e do elétron minimizado,isso ocorre quando um estiver em repouso no referencial do outro (estão com a mesma velocidade).Assim:

 E_{\nu}= \frac{M_{n} ^2 + M_{\nu} ^2-(M_{e^-}+M_{p})^2}{2M_{n}}

Essa é a energia máxima do elétron,medida no referencial de repouso do néutron,para achar a energia num referencial qualquer,podemos utilizar da transformada de lorentz:

E'=\gamma(v) (E-pv)

\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt[2]{1-(\frac{v}{c})^2}}

Sabemos pela relação de Einstein que:

E^2=p^2+m^2

Logo,sabendo a energia em um referencial,sabemos em todos,e assim nosso problema foi resolvido

Obs:

Sejam dois quadrivetores momento P_{1} e P_{2},temos o produto escalar dos dois como sendo:

P_{1}.P_{2}=(E_{1},p_{1}).(E_{2},p_{2})=E_{1}E_{2}-p_{1}.p_{2}

Mantendo E_{1} e E_{2} constantes,mantemos também p_{1} e p_{2} com módulos constantes (graças à relação de Einstein),assim temos o produto escalar deles dois como sendo:

P_{1}.P_{2}=E_{1} E_{2} -p_{1}p_{2}cos(\theta)

Que é mínimo com cos(\theta) sendo máximo,ou seja:

cos(\theta)=1

Os dois vetores estão na mesma direção no caso de produto mínimo

 

 

 

 

 

 

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