Soluções Física - Semana 1

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Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Seja a_{A} a aceleração linear da polia A e a_{B} e a_{C} definidas de forma análoga. Sejam então \alpha_{A}, \alpha_{B}, \alpha_{C} as acelerações angulares das polias A, B e C.

\bullet \ a_{B} = 4\frac{m}{s^2}; R_{B} = 10 cm = 0,1 m \Rightarrow \alpha_{B} = \frac{a_{B}}{R_{B}} = \frac{4}{0,1} = 40 \frac{rad}{s^2}

\bullet \ \alpha_{A} = \alpha_{B}; R_{A} = 20 cm = 0,2 m \Rightarrow a_{A} = \alpha_{A}R_{A} = 40 \cdot 0,2 = 8 \frac{m}{s^2}

\bullet \ a_{C} = a_{A} = 8 \frac{m}{s^2}; R_{C} = 50 cm = 0,5 m \Rightarrow \alpha_{C} = \frac{a_{C}}{R_{C}} = \frac{8}{0,5} = 16 \frac{rad}{s^2}

\bullet \ \omega_{C} = \omega_{0_{C}} + \alpha_{C} t \Rightarrow \omega_{C} = 16 \frac{rad}{s}

 

Intermediário (Solução por Victor Sales)

a)

i) No referencial do centro de massa, temos, adotando o sentido positivo para a direita:

V_1^\prime = \frac{m_2}{m_1 + m_2}V_0 e V_2^\prime = -\frac{m_1}{m_1 + m_2}V_0

ii) Nesse referencial, a compressão será máxima quando a velocidade das duas massas forem zero. Então, por conservação da energia:

\frac12 m_1 {V_1^\prime}^2 + {\frac12 m_2 {V_2^\prime}^2} = \frac12 k(\Delta x)^2


(\Delta x)^2 = \frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}V_0^2


\Delta x = \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}V_0

b)No referencial do centro de massa, os objetos vão apenas trocar o sentido das velocidades após a colisão. Isso é verdade porque as velocidades devem continuar na razão -\frac{m_2}{m_1} para que o momento total seja zero. Então ambas devem, em módulo, ou aumentar ou diminuir. Mas se alguma dessas duas coisas acontecerem, a energia não será conservada.

Logo:

V_1 = -V_1^\prime + V_{CM} e V_2 = -V_2^\prime + V_{CM}

V_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}V_0 e V_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}V_0

Avançado (Solução por Fernando Frota)

Primeiramente, utilizamos o fato de que o \triangle{OAB} é retângulo. Logo, a mediana relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa. Logo, como C é o ponto médio do lado AB, então \overline{OC} = \overline{BC} = \overline{AC} = \frac{L}{2}, onde L é o comprimento total da barra. Assim, o \triangle COB é isósceles e o ângulo \angle COB vale \alpha também, como mostra a figura ao lado.Captura de tela 2015-03-24 19.25.17

Assim, o vetor posição \vec{R} do centro de massa C é dado (sendo o vetor unitário \hat{x} na horizontal e o vetor unitário \hat{y} na vertical) por:

\displaystyle{\vec{R} = (\frac{L}{2} cos \alpha) \hat{x} + (\frac{L}{2} sen \alpha) \hat{y}}

Derivando uma vez, encontramos a velocidade;

\displaystyle{\vec{v} = (-\frac{L}{2} sen\alpha\dot{\alpha}) \hat{x} + (\frac{L}{2} cos\alpha \dot{\alpha}) \hat {y}}

Derivando novamente, encontramos a aceleração:

\displaystyle{\vec{a} = (-\frac{L}{2} sen\alpha\ddot{\alpha} - \frac{L}{2} cos\alpha {\dot{\alpha}}^2) \hat{x} + (\frac{L}{2} cos\alpha\ddot{\alpha} - \frac{L}{2} sen \alpha {\dot{\alpha}}^2) \hat{y}}

Para encontrarmos o módulo da aceleração do ponto C, fazemos:

\displaystyle{a^2 = {(-\frac{L}{2} sen\alpha\ddot{\alpha} - \frac{L}{2} cos\alpha{\dot{\alpha}}^2 )}^2 + (\frac{L}{2} cos\alpha\ddot{\alpha} - \frac{L}{2} sen \alpha {\dot{\alpha}}^2)^2}

\displaystyle{a^2 = \frac{L^2}{4} {\dot{\alpha}}^4 + \frac{L^2}{4} {\ddot{\alpha}}^2}\ \ \ \ \ \ \ \ (1)

Assim, temos que encontrar o valor da velocidade angular e da aceleração angular da barra. Para isso, usamos que a distância \overline{OB} = L cos\alpha. Logo,

\displaystyle{v = -L sen \alpha \dot{\alpha}}

\displaystyle{\dot{\alpha} = - \frac{v}{L sen \alpha}}\ \ \ \ \ \ \ \ (2)

 Derivando a velocidade angular:

\displaystyle{\ddot{\alpha} = \frac{v}{L sen^2 \alpha}cos\alpha\dot{\alpha} = -\frac{v^2 cos\alpha}{L^2 sen^3 \alpha}} \ \ \ \ \ \ \ \ (3)

Colocando as equações (2) e (3) na equação (1):

\displaystyle{a^2 = \frac{L^2}{4}[(-\frac{v}{Lsen\alpha})^4 + (-\frac{v^2cos\alpha}{L^2sen^3\alpha})^2]}

\displaystyle{a^2 = \frac{L^2}{4}[ \frac{v^4}{L^4 sen^4\alpha} + \frac{v^4 cos^2\alpha}{L^4 sen^6 \alpha} ]}

\displaystyle{a^2 = \frac{v^4}{4L^2}[\frac{sen^2\alpha + cos^2\alpha}{sen^6\alpha}] = \frac{v^4}{4L^2sen^6\alpha} }

Onde nós obtemos a resposta final:

\displaystyle{a = \frac{v^2}{2Lsen^3\alpha}}

 

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