Iniciante (Solução por João Araújo)
Seja a velocidade com que o martelo atinge a estaca. Tomando o ponto de impacto como nosso zero de energia potêncial gravitacional e conservando a energia mecâncica:
Seja v' a velocidade do sistema (Martelo + Estaca)logo após o choque.
Durante a penetração no solo,sendo F a força média de resistência à penetração da estaca,teremos pela segunda lei de Newton:
O valor da aceleração média a poderá ser determinado pela equação de Torricelli:
Substituindo:
Intermediário (Solução por Victor Sales)
![i)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_71e30cee73fa1933d3cd6959ef542ab9.gif?w=640&ssl=1)
![ii)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a5efa8186bd4a083c7b71c83fc4135e2.gif?w=640&ssl=1)
Resolvendo, temos:
![\beta = \frac{2 g y}{v_i^2}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_0a5a9b8f866ca74a0718ff0f3725b6ba.gif?w=640&ssl=1)
Para maximizar
, devemos ter:
![A](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif?w=640&ssl=1)
Derivando, multiplicando o resultador por
, e igualando a zero, temos:
![\sqrt{\sin^2{\theta} - \beta}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_e8c89958ed78a179b6f0d72e4e9d4113.gif?w=640&ssl=1)
Usando
, elevando ao quadrado e simplificando, obtemos que o ângulo desejado é:
![\cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3de7f3d43fed372cf45c09d0f29bb91c.gif?w=640&ssl=1)
Por curiosidade, obtemos também que ![A = \frac{v_i v_f}{g}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_5211ab0ec641dc4f21a5b16786e18883.gif?w=640&ssl=1)
![A = \frac{v_i v_f}{g}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_5211ab0ec641dc4f21a5b16786e18883.gif?w=640&ssl=1)
Avançado (Solução por Victor Sales)
(a) Se
for aquecido, a água irá fluir de
para
. Pois:
![A](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif?w=640&ssl=1)
![B](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif?w=640&ssl=1)
![A](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif?w=640&ssl=1)
![i)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_71e30cee73fa1933d3cd6959ef542ab9.gif?w=640&ssl=1)
![h](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2510c39011c5be704182423e3a695e91.gif?w=640&ssl=1)
![P = \rho g h](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_dadbdb3f2b0128ee83245f60e7f5cdb3.gif?w=640&ssl=1)
![A](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif?w=640&ssl=1)
![h](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2510c39011c5be704182423e3a695e91.gif?w=640&ssl=1)
![\rho](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d2606be4e0cd2c9a6179c8f2e3547a85.gif?w=640&ssl=1)
![ii)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a5efa8186bd4a083c7b71c83fc4135e2.gif?w=640&ssl=1)
![\frac{1}{A}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_374e8d1d278e73994c8054fbe7d453c2.gif?w=640&ssl=1)
![A](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif?w=640&ssl=1)
![A = h w](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ed22e5edcffe71fd7e23dd60b67c847b.gif?w=640&ssl=1)
![w](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_f1290186a5d0b1ceab27f4e77c0c5d68.gif?w=640&ssl=1)
Como
aumenta quando o nível de água sobe, a pressão em
diminui, então a água flui de
para
.
![w](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_f1290186a5d0b1ceab27f4e77c0c5d68.gif?w=640&ssl=1)
![A](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif?w=640&ssl=1)
![B](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif?w=640&ssl=1)
![A](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif?w=640&ssl=1)
(b) Se
for aquecido, então a água novamente fluirá de
para
. O mesmo argumento do item anterior funciona, mas dessa vez o
do contêiner
diminui quando o nível de água sobe, ou seja, a pressão em
aumenta, fazendo a água fluir de
para
.
![B](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif?w=640&ssl=1)
![B](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif?w=640&ssl=1)
![A](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif?w=640&ssl=1)
![w](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_f1290186a5d0b1ceab27f4e77c0c5d68.gif?w=640&ssl=1)
![B](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif?w=640&ssl=1)
![B](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif?w=640&ssl=1)
![B](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif?w=640&ssl=1)
![A](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif?w=640&ssl=1)