Soluções Física - Semana 10

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Iniciante (Solução por João Araújo)

Seja v_0 a velocidade com que o martelo atinge a estaca. Tomando o ponto de impacto como nosso zero de energia potêncial gravitacional e conservando a energia mecâncica:

Mgh \ = \ \frac{Mv_0^2}{2} \rightarrow v_0 = \sqrt{2}gh = 2\sqrt{10}

Seja v' a velocidade do sistema (Martelo + Estaca)logo após o choque.

Qi = Qf \rightarrow Mv_0=(m+M)v' \rightarrow 70 \cdot (2\sqrt{10})=(70+30)v' \rightarrow v'=1,40\sqrt{10}

Durante a penetração no solo,sendo F a força média de resistência à penetração da estaca,teremos pela segunda lei de Newton:

F-P=(M+m)\cdot a \rightarrow F-(M+m)\cdot g=(M+m)\cdot a \rightarrow F=(M+m) \cdot (g+a)

O valor da aceleração média a poderá ser determinado pela equação de Torricelli:

 v^2=v'^2-2a\Delta s \rightarrow a = 19,6m\ s^2

Substituindo:

F=(70+30)(10+19,6) \rightarrow F = 2,96\cdot10^3N

 

Intermediário (Solução por Victor Sales)

i) Por conservação da energia:

\frac12 m v_i^2 = \frac12 m v_f^2 + mgy \Rightarrow v_f^2 = v_i^2 - 2 g y

ii) Sabemos que:

y = {\mathrm{tg} \, {\theta} \,} A - \frac{g}{2 v_i^2 \cos^2{\theta}} A^2

Resolvendo, temos:

A = \frac{v_i^2 \cos{\theta}}{g}(\sin{\theta} + \sqrt{\sin^2{\theta} - \beta})

, onde \beta = \frac{2 g y}{v_i^2}
Para maximizar A, devemos ter:

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}{\theta}} = 0

Derivando, multiplicando o resultador por \sqrt{\sin^2{\theta} - \beta}, e igualando a zero, temos:

(\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta})\sqrt{\sin^2{\theta} - \beta} = - \sin{\theta}(\beta + (\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}))

Usando \cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta}, elevando ao quadrado e simplificando, obtemos que o ângulo desejado é:

sin{\theta}_max = \frac{1}{\sqrt{2 - \beta}}

\Rightarrow {\mathrm{tg} \, {\theta}_max} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta}} = \frac{v_i}{\sqrt{v_i^2 - 2 g y}}

\Rightarrow \mathrm{tg} \, {\theta}_max = \frac{v_i}{v_f}

Por curiosidade, obtemos também que A = \frac{v_i v_f}{g}

Avançado (Solução por Victor Sales)

(a) Se A for aquecido, a água irá fluir de B para A. Pois:
i) A pressão numa altura h é dada por P = \rho g h. Quando a água em A expande, a altura h aumenta e a densidade \rho diminui.
ii) A densidade varia como \frac{1}{A}, onde A é a área da seção trapezoidal. Mas A = h w, onde w é o comprimento na metade da altura. Então:

P = \rho g h \propto \frac{h}{A} = \frac{1}{w}

Como w aumenta quando o nível de água sobe, a pressão em A diminui, então a água flui de B para A.
(b) Se B for aquecido, então a água novamente fluirá de B para A. O mesmo argumento do item anterior funciona, mas dessa vez o w do contêiner B diminui quando o nível de água sobe, ou seja, a pressão em B aumenta, fazendo a água fluir de B para A.
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