Soluções Física - Semana 11

Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Vamos chamar de Z o lado oposto ao vértice z e de X e Y os lados opostos à x e y respectivamente. Usando Pitágoras:

$X^2 + Z^2 = Y^2 \rightarrow X^2 + Z^2 = 25$

Agora usando o fato dos tempos da luz percorrendo os percursos serem iguais:

$\frac{X}{\frac{c}{n_b}} + \frac{Z}{\frac{c}{n_b}} = \frac{Y}{\frac{c}{n_a}}\rightarrow X \cdot n_b + Z \cdot n_b = Y \cdot n_a \rightarrow X \cdot n + Z \cdot n = 5$

Onde temos n = $\frac{n_{b}}{n_{a}}$ . Elevando a segunda equação ao quadrado e subtraindo a primeira dela:

$(n^2-1)(X^2 + Z^2) + 2XZn^2 = 0 \rightarrow 2XZn^2 = 25(1 - n^2) \rightarrow XZ = 12.5(n^{-2} - 1)$

Agora basta resolvermos a equação de segundo grau que têm X e Z como raízes:

$x^2 - \frac{5x}{n} + 12.5(n^{-2} - 1) = 0 \Rightarrow n^2x^2 - 5nx + 12.5(1 - n^2) = 0$

Calculando o $\Delta$:

$\Delta = 25n^2 - 50n^2(1 - n^2) = 25n^2(2n^2 - 1)$

Terminando:

${X, \ Z} = {\frac{5(1 - \sqrt{2n^2 - 1})}{2n}, \ \frac{5(1 + \sqrt{2n^2 - 1})}{2n}}$

Intermediário (Solução por Victor Sales)

$i)$ A única força que age no disco é a tração da corda e ela é sempre perpendicular à velocidade do disco, ou seja, não realiza trabalho, fazendo com que a velocidade do disco seja sempre constante e igual a

$v_0$

$ii)$ Suponha que, em um tempo

$t$ , a corda esteja enrolada de um ângulo

$\theta$ e um comprimento

$x = R \theta$ .

$iii)$ Considere agora um tempo

$t + \mathrm{d}t$ , neste tempo, a corda se moveu uma distância

$v_0 \mathrm{d}t$ . Analizando a figura, vemos que a mesma distância percorrida é dada por

$(l_0 - x) \mathrm{d}\theta$ . Igualando as duas, temos:

$v_0 \mathrm{d}t = (lo - x) \mathrm{d}\theta = \frac{l_0 - x}{R} \mathrm{d}x$

$\Rightarrow \int_0^T \! v_0 \, \mathrm{d}t = \int_0^{l_0} \! \frac{l_0 - x}{R} \, \mathrm{d}x$

$\Rightarrow T = \frac{l_0^2}{2 v_0 R}$

Avançado (Solução por Victor Sales)

Chame de

$F$ a tração na corda. O ângulo (na massa) entre a corda e a circunferência pontilhada é

$\theta = \sin^{-1}(\frac{r}{R})$ . Em termos de

$\theta$ , as equações

$F = m a$ radiais e tangenciais são:

$F \cos{\theta} = \frac{m v^2}{R}$ , e

$F \sin{\theta} = m \dot{v}$

Resolvendo para

$F$ na segunda e substituindo na primeira, encontramos:

$\frac{m \dot{v} \cos{\theta}}{\sin{\theta}} = \frac{m v^2}{R}$

Separando variáveis e integrando, temos:

$\int_{v_0}^v \, \frac{\mathrm{d}v}{v^2} = \frac{\tan{\theta}}{R} \int_0^t \, \mathrm{d}t$

$\Rightarrow \frac{1}{v_0} - \frac{1}{c} = \frac{\tan{\theta}}{R} t$

$\Rightarrow v = (\frac{1}{v_0} - \frac{\tan{\theta}}{R} t)^{-1}$

Note que

$v$ torna-se infinito quando

$t = T \equiv \frac{R}{v_0 \tan{\theta}}$

Em outras palavras, você pode mantar a massa se movendo no círculo desejado só até um certo tempo

$T$ . Depois disso, é impossível.

A distância total percorrida,

$d = \int \! v \, \mathrm{d}t$ , é infinita, porque a integral diverge quando

$t$ se aproxima de

$T$ .