Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)
Vamos chamar de Z o lado oposto ao vértice z e de X e Y os lados opostos à x e y respectivamente. Usando Pitágoras:
Agora usando o fato dos tempos da luz percorrendo os percursos serem iguais:
Onde temos n = . Elevando a segunda equação ao quadrado e subtraindo a primeira dela:
Agora basta resolvermos a equação de segundo grau que têm X e Z como raízes:
Calculando o $\Delta$:
Terminando:
Intermediário (Solução por Victor Sales)
![i)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_71e30cee73fa1933d3cd6959ef542ab9.gif?w=640&ssl=1)
![v_0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8bcda5f030288c05bb245be5d42b3c07.gif?w=640&ssl=1)
![ii)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a5efa8186bd4a083c7b71c83fc4135e2.gif?w=640&ssl=1)
![t](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif?w=640&ssl=1)
![\theta](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.gif?w=640&ssl=1)
![x = R \theta](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_0853b8d4bc291c92efa1918435b70d70.gif?w=640&ssl=1)
![iii)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d63c15ce124eced5755c38457f207dac.gif?w=640&ssl=1)
![t + \mathrm{d}t](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_61163a675017a8e2df3c61fd6e996d8d.gif?w=640&ssl=1)
![v_0 \mathrm{d}t](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ee6cd1a539100e3c413c4ff03835c722.gif?w=640&ssl=1)
![(l_0 - x) \mathrm{d}\theta](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2e943c6be02b7355f7e13faaafe034a4.gif?w=640&ssl=1)
Avançado (Solução por Victor Sales)
Chame de
a tração na corda. O ângulo (na massa) entre a corda e a circunferência pontilhada é
. Em termos de
, as equações
radiais e tangenciais são:
![F](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_800618943025315f869e4e1f09471012.gif?w=640&ssl=1)
![\theta = \sin^{-1}(\frac{r}{R})](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ff3dd2f51b64d890b8cf0b08e6d39caf.gif?w=640&ssl=1)
![\theta](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.gif?w=640&ssl=1)
![F = m a](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_795b3b46b689a481265d8152d85a330a.gif?w=640&ssl=1)
![F \cos{\theta} = \frac{m v^2}{R}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1176f67e98b54dfb7f8f04fa4578fd8d.gif?w=640&ssl=1)
Resolvendo para
na segunda e substituindo na primeira, encontramos:
![F](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_800618943025315f869e4e1f09471012.gif?w=640&ssl=1)
Separando variáveis e integrando, temos:
Note que
torna-se infinito quando
![v](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.gif?w=640&ssl=1)
Em outras palavras, você pode mantar a massa se movendo no círculo desejado só até um certo tempo
. Depois disso, é impossível.
![T](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.gif?w=640&ssl=1)
A distância total percorrida,
, é infinita, porque a integral diverge quando
se aproxima de
.
![d = \int \! v \, \mathrm{d}t](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_5cac9df02e04c57734f52ea6dd148ca9.gif?w=640&ssl=1)
![t](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_e358efa489f58062f10dd7316b65649e.gif?w=640&ssl=1)
![T](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.gif?w=640&ssl=1)