Soluções Física - Semana 11

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Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Vamos chamar de Z o lado oposto ao vértice z e de X e Y os lados opostos à x e y respectivamente. Usando Pitágoras:

 X^2 + Z^2 = Y^2 \rightarrow X^2 + Z^2 = 25

Agora usando o fato dos tempos da luz percorrendo os percursos serem iguais:

 \frac{X}{\frac{c}{n_b}} + \frac{Z}{\frac{c}{n_b}} = \frac{Y}{\frac{c}{n_a}}\rightarrow X \cdot n_b + Z \cdot n_b = Y \cdot n_a \rightarrow X \cdot n + Z \cdot n = 5

Onde temos n = \frac{n_{b}}{n_{a}}. Elevando a segunda equação ao quadrado e subtraindo a primeira dela:

 (n^2-1)(X^2 + Z^2) + 2XZn^2 = 0 \rightarrow 2XZn^2 = 25(1 - n^2) \rightarrow XZ = 12.5(n^{-2} - 1)

Agora basta resolvermos a equação de segundo grau que têm X e Z como raízes:

 x^2 - \frac{5x}{n} + 12.5(n^{-2} - 1) = 0 \Rightarrow n^2x^2 - 5nx + 12.5(1 - n^2) = 0

Calculando o $\Delta$:

\Delta = 25n^2 - 50n^2(1 - n^2) = 25n^2(2n^2 - 1)

Terminando:

 {X, \ Z} = {\frac{5(1 - \sqrt{2n^2 - 1})}{2n}, \ \frac{5(1 + \sqrt{2n^2 - 1})}{2n}}

 

Intermediário (Solução por Victor Sales)

i) A única força que age no disco é a tração da corda e ela é sempre perpendicular à velocidade do disco, ou seja, não realiza trabalho, fazendo com que a velocidade do disco seja sempre constante e igual a v_0
ii) Suponha que, em um tempo t, a corda esteja enrolada de um ângulo \theta e um comprimento x = R \theta.
iii) Considere agora um tempo t + \mathrm{d}t, neste tempo, a corda se moveu uma distância v_0 \mathrm{d}t. Analizando a figura, vemos que a mesma distância percorrida é dada por (l_0 - x) \mathrm{d}\theta. Igualando as duas, temos:

v_0 \mathrm{d}t = (lo - x) \mathrm{d}\theta = \frac{l_0 - x}{R} \mathrm{d}x

\Rightarrow \int_0^T \! v_0 \, \mathrm{d}t = \int_0^{l_0} \! \frac{l_0 - x}{R} \, \mathrm{d}x

\Rightarrow T = \frac{l_0^2}{2 v_0 R}

Avançado (Solução por Victor Sales)

Chame de F a tração na corda. O ângulo (na massa) entre a corda e a circunferência pontilhada é \theta = \sin^{-1}(\frac{r}{R}). Em termos de \theta, as equações F = m a radiais e tangenciais são:
F \cos{\theta} = \frac{m v^2}{R}, e

F \sin{\theta} = m \dot{v}

Resolvendo para F na segunda e substituindo na primeira, encontramos:

\frac{m \dot{v} \cos{\theta}}{\sin{\theta}} = \frac{m v^2}{R}

Separando variáveis e integrando, temos:

\int_{v_0}^v \, \frac{\mathrm{d}v}{v^2} = \frac{\tan{\theta}}{R} \int_0^t \, \mathrm{d}t

\Rightarrow \frac{1}{v_0} - \frac{1}{c} = \frac{\tan{\theta}}{R} t

\Rightarrow v = (\frac{1}{v_0} - \frac{\tan{\theta}}{R} t)^{-1}

Note que v torna-se infinito quando

t = T \equiv \frac{R}{v_0 \tan{\theta}}

Em outras palavras, você pode mantar a massa se movendo no círculo desejado só até um certo tempo T. Depois disso, é impossível.
A distância total percorrida, d = \int \! v \, \mathrm{d}t, é infinita, porque a integral diverge quando t se aproxima de T.
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