Soluções Física – Semana 12

Iniciante

Temos a seguinte equação de segundo grau para acharmos os tempos nos quais a bola passa pelo nosso ponto:

$\frac{gt^2}{2} - v_0t + \pi^2 = 0$

Mas como sabemos, o produto das raízes de tal equação nos dá c/a:

$(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) = \frac{2 \pi^2 }{g} \Rightarrow pi^2 = g$

Pela simetria da distribuição de carga, o campo elétrico

$\vec{E}$ no centro da esfera é oposto a

$\vec{a}$ . Considerando o eixo que passa no sentido de

$\vec{a}$ e tomando o ângulo

$\theta$ medido a partir deste eixo, temos que o elemento de carga na esfera é dado por:

$\mathrm{d}q = \sigma (2 \pi r \sin{\theta}) r \mathrm{d}{\theta} = (\vec{a} \cdot \vec{r}) 2 \pi r^2 \sin{\theta} \mathrm{d}{\theta}$

$\Rightarrow \mathrm{d}q = 2 \pi a r^3 \sin{\theta} \cos{\theta} \mathrm{d}{\theta}$

Considerando o anel de cargas neste ângulo

$\theta$ temos que, por simetria, o campo elétrico desse anel

$\mathrm{d}{\vec{E}}$ também se opõe a

$\vec{a}$ .

Logo, usando o resultado de campos elétricos no eixo de um anel, obtemos:

$\mathrm{d}{\vec{E}} = \frac{\mathrm{d}q r \cos{\theta}}{4 \pi \epsilon_0 (r^2 \sin^2{\theta} + r^2 \cos^2{\theta})^{\frac32}} \frac{- \vec{a}}{a}$

Substituindo

$\mathrm{d}q$ :

$\mathrm{d}{\vec{E}} = \frac{- \vec{a} r}{2 \epsilon_0} \sin{\theta} \cos^2{\theta} \, \mathrm{d}{\theta}$

Integrando, obtemos

$\vec{E} = - \frac{\vec{a} r}{3 \epsilon_0}$

Uma extremidade do disco solar está se movendo na nossa direção enquanto a outra se afasta de nós. O ângulo

$\theta$ entre as direções em que as extremidades do disco se movem e a linha de observação é pequeno

$(\cos{\theta} \approx 1)$ . Então, pelo efeito Doppler em abas as extremidades:

$\frac{\delta \lambda}{\lambda} = \frac{2 \omega R}{c}$

onde

$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ é a velocidade angular do Sol. Logo:

$T = \frac{4 \pi R \lambda}{c \delta \lambda}$

Colocando os valores, temos

$T \approx 25 \, d$