Soluções Física - Semana 12

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Iniciante

Temos a seguinte equação de segundo grau para acharmos os tempos nos quais a bola passa pelo nosso ponto:

 \frac{gt^2}{2} - v_0t + \pi^2 = 0

Mas como sabemos, o produto das raízes de tal equação nos dá c/a:

 (2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) = \frac{2 \pi^2 }{g} \Rightarrow pi^2 = g

 

Intermediário

Pela simetria da distribuição de carga, o campo elétrico \vec{E} no centro da esfera é oposto a \vec{a}. Considerando o eixo que passa no sentido de \vec{a} e tomando o ângulo \theta medido a partir deste eixo, temos que o elemento de carga na esfera é dado por:

\mathrm{d}q = \sigma (2 \pi r \sin{\theta}) r \mathrm{d}{\theta} = (\vec{a} \cdot \vec{r}) 2 \pi r^2 \sin{\theta} \mathrm{d}{\theta}

\Rightarrow \mathrm{d}q = 2 \pi a r^3 \sin{\theta} \cos{\theta} \mathrm{d}{\theta}

Considerando o anel de cargas neste ângulo \theta temos que, por simetria, o campo elétrico desse anel \mathrm{d}{\vec{E}} também se opõe a \vec{a}.
Logo, usando o resultado de campos elétricos no eixo de um anel, obtemos:

\mathrm{d}{\vec{E}} = \frac{\mathrm{d}q r \cos{\theta}}{4 \pi \epsilon_0 (r^2 \sin^2{\theta} + r^2 \cos^2{\theta})^{\frac32}} \frac{- \vec{a}}{a}

Substituindo \mathrm{d}q:

\mathrm{d}{\vec{E}} = \frac{- \vec{a} r}{2 \epsilon_0} \sin{\theta} \cos^2{\theta} \, \mathrm{d}{\theta}

Integrando, obtemos \vec{E} = - \frac{\vec{a} r}{3 \epsilon_0}

Avançado

Uma extremidade do disco solar está se movendo na nossa direção enquanto a outra se afasta de nós. O ângulo \theta entre as direções em que as extremidades do disco se movem e a linha de observação é pequeno (\cos{\theta} \approx 1). Então, pelo efeito Doppler em abas as extremidades:

\frac{\delta \lambda}{\lambda} = \frac{2 \omega R}{c}

onde \omega = \frac{2 \pi}{T} é a velocidade angular do Sol. Logo:

T = \frac{4 \pi R \lambda}{c \delta \lambda}

Colocando os valores, temos T \approx 25 \, d
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