Soluções Física - Semana 13

Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Toricelli: $V_2 ^2 = V_{02}^ 2 + 2\alpha\Delta S_2 \Rightarrow V_2 = 18 m$

Substituindo os valores dados na questão:

$V_2^2 = 0^2 + 2 \cdot 0,2 \cdot 810 = 324 s$
Disso podemos achar o tempo através da equação horária do MUV:
$V_2 = V{02} + \alpha t \Rightarrow 18 = 0.2 t \Rightarrow t = 18/0,2 = 90s$

Calculamos agora quanto o trem I demorará para iniciar a passagem pelo ponto B
dados
Função horária do espaço de I em MU:
$S_1 = S_{01} + V_1t_1 \Rightarrow \Delta S = V_{1}t_{1} \Rightarrow t_1 = 3000/15 = 200s$
Agora sabemos que I demorará 200s para alcançar o ponto B
Mas queremos que o trem I so alcance B após 10s da passagem do trem 2 por B, e como 2 demora 90s para isso, devemos considerar $t_2 = 100s.$
$t_1 - t_2 = 200 - 100 = 100s$

Intermediário (Solução por Victor Sales)

$i)$ Adote eixos coordenados perpendiculares dextrógeno, com o eixo

$y$ oposto à gravidade, temos, então, chamando a velocidade inical de

$V_0$ :

$\vec{x} = v_0 \cos{\alpha} t \hat{x}$

$\vec{y} = (v_0 \sin{\alpha} t - \frac12 g t^2) \hat{y}$

$\vec{r} = \vec{x} + \vec{y}$

$ii)$ A condição pedida, é que a velocidade seja perpendicular ao vetor posição. Logo:

$\vec{r} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow \vec{r} \cdot \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = 0$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}(\vec{r} \cdot \vec{r})}{\mathrm{d}t} = 0 \Rightarrow \frac{\mathrm{d}|r|^2}{\mathrm{d}t} = 0$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(v_0^2 t^2 - v_0 \sin{\alpha} \, g t^3 + \frac14 g^2 t^2) = 0 \Rightarrow 2 v_0^2 t - 3 v_0 \sin{\alpha} \, g t^2 + g^2 t^3 = 0$

$\Rightarrow g^2 t^2 - 3 v_0 g \sin{\alpha} \, t + 2 v_0^2 = 0$

Para existir momentos desses, basta que

$\Delta \geq 0$

$\Rightarrow 9 v_0^2 g^2 \sin^2{\alpha} - 8 v_0^2 g^2 \geq 0$

$\Rightarrow 9 \sin^2{\alpha} \geq 8 \Rightarrow 9 \cos^2{\alpha} \leq 1$

$\Rightarrow \cos{\alpha} \leq \frac13 \Rightarrow \sec{\alpha} \geq 3$

Avançado (Solução por Victor Sales)

$i)$ Temos, em um certo instante de tempo

$t$ , pela lei de Faraday:

$L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = B l \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$

Como em

$t = 0, x = 0 \Rightarrow L i = B l x$ ou

$i = \frac{B l}{L} x$

$ii)$ Aplicando a segunda lei de Newton para o suporte, obtemos:

$- i l B = m \ddot{x}$

Usando

$(i)$ :

$\ddot{x} = - \frac{l^2 B^2}{m L} x$

Logo, o movimento resultante é um MHS com frequência angular

$\omega = \frac{l B}{\sqrt{m L}}$