Soluções Física - Semana 13

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Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Inicialmente, calculemos quanto tempo gastará o trem II para II para ultrapassar totalmente o ponto B: 
Toricelli: V_2 ^2 = V_{02}^ 2 + 2\alpha\Delta S_2 \Rightarrow V_2 = 18 m

Substituindo os valores dados na questão:

V_2^2 = 0^2 + 2 \cdot 0,2 \cdot 810 = 324 s
Disso podemos achar o tempo através da equação horária do MUV:
 V_2 = V{02} + \alpha t \Rightarrow 18 = 0.2 t \Rightarrow t = 18/0,2 = 90s


Calculamos agora quanto o trem I demorará para iniciar a passagem pelo ponto B 
dados 
Função horária do espaço de I em MU:
S_1 = S_{01} + V_1t_1 \Rightarrow \Delta S = V_{1}t_{1} \Rightarrow t_1 = 3000/15 = 200s
Agora sabemos que I demorará 200s para alcançar o ponto B 
Mas queremos que o trem I so alcance B após 10s da passagem do trem 2 por B, e como 2 demora 90s para isso, devemos considerar t_2 = 100s. 
t_1 - t_2 = 200 - 100 = 100s

 

Intermediário (Solução por Victor Sales)

i) Adote eixos coordenados perpendiculares dextrógeno, com o eixo y oposto à gravidade, temos, então, chamando a velocidade inical de V_0:

 \vec{x} = v_0 \cos{\alpha} t \hat{x}

 \vec{y} = (v_0 \sin{\alpha} t - \frac12 g t^2) \hat{y}

 \vec{r} = \vec{x} + \vec{y}

ii) A condição pedida, é que a velocidade seja perpendicular ao vetor posição. Logo:

 \vec{r} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow \vec{r} \cdot \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = 0

 \Rightarrow \frac{\mathrm{d}(\vec{r} \cdot \vec{r})}{\mathrm{d}t} = 0 \Rightarrow \frac{\mathrm{d}|r|^2}{\mathrm{d}t} = 0

 \Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(v_0^2 t^2 - v_0 \sin{\alpha} \, g t^3 + \frac14 g^2 t^2) = 0 \Rightarrow 2 v_0^2 t - 3 v_0 \sin{\alpha} \, g t^2 + g^2 t^3 = 0

 \Rightarrow g^2 t^2 - 3 v_0 g \sin{\alpha} \, t + 2 v_0^2 = 0

Para existir momentos desses, basta que \Delta \geq 0

 \Rightarrow 9 v_0^2 g^2 \sin^2{\alpha} - 8 v_0^2 g^2 \geq 0

 \Rightarrow 9 \sin^2{\alpha} \geq 8 \Rightarrow 9 \cos^2{\alpha} \leq 1

 \Rightarrow \cos{\alpha} \leq \frac13 \Rightarrow \sec{\alpha} \geq 3

 

Avançado (Solução por Victor Sales)

i)Temos, em um certo instante de tempo t, pela lei de Faraday:

L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = B l \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

Como em t = 0, x = 0 \Rightarrow L i = B l x ou

i = \frac{B l}{L} x

ii) Aplicando a segunda lei de Newton para o suporte, obtemos:

 - i l B = m \ddot{x}

Usando (i):

\ddot{x} = - \frac{l^2 B^2}{m L} x

Logo, o movimento resultante é um MHS com frequência angular \omega = \frac{l B}{\sqrt{m L}}
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