Soluções Física - Semana 16

Iniciante

Com uma simples análise dimensional podemos determinar a dimensão de $\eta$. Temos que:

$N = [\eta] \cdot m \cdot m \cdot s^{-1}$

$[\eta] = \frac{N \cdot s}{m^2} \Rightarrow [\eta] = \frac{kg}{m \cdot s}$

Intermediário

Essa questão é uma aplicação direta da equação de foguete de Tsiolkovsky, que serve para descrever veículos que funcionam como um foguete: um objeto que pode aplicar aceleração a si mesmo, expulsando parte de sua massa a alta velocidade na direção oposta. Para derivar a equação, partimos de:

$\Delta v = \int^{t_{1}}_{t_{0}} \frac{|F|}{{m_0}-\Delta{m} {t}} ~ dt$

Lembrando que a integral da força ao longo do tempo é o impulso total $I$, temos:

$\int^{t1}_{t0} \frac{|F|}{{m_0}-\Delta{m} {t}} ~ dt = I \cdot \frac{\ln m_{0} - \ln m_{f}}{\Delta m}$

Mas, sabemos que o impulso total sobre a variação da massa é equivalente à velocidade da massa expelida, ou seja:

$\frac{I}{\Delta m} = v_{e}$

Substituindo temos a equação final:

$\Delta v = v_{e} \ln \frac {m_0} {m_f}$

É definido que:

$v_{e} = I_{sp}$

onde $g$ é a gravidade padrão da Terra.

Usando essa definição na equação dos foguetes, e colocando a razão das massas como $R$:

$\Delta v = I_{sp} \ln R$

Avançado

Este problema é a versão relativística do problema do nível intermediário. Ao levarmos em conta relatividade restrita, alcançamos a seguinte equação:

$R = \left[\frac{1 + {\frac{\Delta v}{c}}}{1 - {\frac{\Delta v}{c}}}\right]^{\frac{c}{2v_e}}$

Rearranjando a equação e usando funções hiperbólicas chegamos a:

$\Delta v = c \cdot \tanh \left(\frac {v_e}{c} \ln R \right)$

E novamente usando a definição de impulso específico temos a resposta:

$\Delta v = c \cdot \tanh \left(\frac {I_{sp}}{c} \ln R \right)$