Soluções Física - Semana 18

Iniciante

A análise dimensional nos permite achar essa área só com alguns simples argumentos, a área tem dimensão de comprimento ao quadrado, logo nossas grandezas devem se combinar tal que a dimensão no final seja a mesma dimensão de área.
Precisamos ter conhecimento que:
$[G]=M^{-1} L^3 T^{-2}$
$[c]=L^1 T^{-1}$
$[m]=M$
Nossa área é do tipo:
$A=G ^x c ^y m ^z$
Aplicando dimensão nos dois lados:
$[A]=[G^x c^y m^z]=M^{(z-x)} \cdot L^{(3x+y)} \cdot T^{(-2x-y)}=L^2$
Igualando os termos de M, L e T:
$z-x=0$
$3x+y=2$
$2x+y=0$
$z=x$
$y=-2x$
$x=2=z$
$y=-4$
$A=G^2M^2/c^4$
(Proporcional ao quadrado da massa)

Intermediário

A partícula n está do lado da mola n e n+1, esse fato não se aplica aos extremos, o que acarretaria problemas com a nossa solução, mas podemos pensar em algo pra resolver isso. Vamos corrigir esse fato tirando a primeira mola e a mola N da oscilação, se elas ficarem fixas não precisamos nos preocupar com o efeito de suas oscilações no sistema(n vai de 0 até N-1), a numeração da mola vai de 1 até N-1.

A partícula N estar parada implica:
$x(N)=0$
Para qualquer t
e a 0 estar parada:
$x(0)=0$
Para qualquer t
Sabendo que:
$F=-Sx$
(S é a constante da mola , melhor parar não confundir com o k da função horária)
Sendo x a deformação da mola, mas a deformação da mola n é dada por x(n)-x(n-1)
Desse modo temos:
$F=S[x(n-1)-x(n)]-S[x(n)-x(n+1)] = -S[2x(n)-x(n+1)-x(n-1)]$
Vamos desenvolver x(n+1)+x(n-1):
$x(n+1)+x(n-1)=A \cos(wt) [\sin(n-1)k \cdot a +\sin(n+1)k\cdot a=A \cos(wt) \cdot 2 \cdot \sin(nka) \cos(ka) \rightarrow$
$2x(n)-x(n+1)-x(n-1)=2A \cos(wt) \sin(nka)[1-\cos(ka)]=4A\cos(wt) \sin(nka)\sin^2(ka/2)$
Mas $F(n)=-mw^2 x(n)$
Logo:
$Mw^2 A \cos(wt) \sin(nka)=4A \cos(wt) \sin(nka)\sin^2(nka)$
$w^2=\frac{4S}{m} \sin^2(ka/2)$
$w=2 \left(\frac{S}{m} \right)^{1/2} \cdot \sin(ka/2)$
Contudo, a mola no começo e no fim deve ficar parada, logo:
$kL=p \pi$ (Com p inteiro) (L é o tamanho da cadeia, quase constante)
$L=(N-1)a$
$K= \frac{p \pi }{(N-1)L}$
$w(p)=2(S/m)^{1/2} \sin \left[ \frac{p \pi}{2(N-1)L} \right]$

Avançado

Sabendo que cada possibilidade obedece a estatística de boltzmann individualmente:
$P(E)=e^{-\frac{E_{Total}}{KT}}$
Mas $E(total)=N E$, em que N é o número de partículas no estado e E é a energia de uma partícula nesse estado.
Para achar o número de ocupação médio podemos usar uma média ponderada:
Número médio de partículas $= \frac{N P(E)}{ \sum P(E)}=\frac{ \sum N e^{\frac{-N E}{KT}}}{\sum e^{\frac{-N E}{KT}}}$
Chame 1/KT de y
Veja bem, o polinômio:
$f(E)= \sum e^{-N \cdot E \cdot y}$
A derivada de f(E) em relação a y é:
$f?(E)= - E \sum N e^{-N \cdot E \cdot y}$
$-\frac{f?(E)}{ E }\cdot \frac{1}{f(E)} = \sum N \frac{e^{-N E y}}{ \sum e^{-N E/KT}} =$ Número médio de partículas no estado de energia $E=p(E)$
Podemos expressar f(E) de maneira mais simplificada, já que estamos fazendo uma soma sobre todos os estados (N vai de zero a infinito), teremos uma soma de PG infinita:
$f(E)=1+e^{- E \cdot y}+e^{-2 E \cdot y} +e^{-3 E \cdot y}+..... = 1/[1-e^{- E \cdot y}]$
$f?(E)=- E \frac{e^{-E y}}{[1-e^{ E y}]^2}$
$-\frac{f?(E)}{f(E)} \cdot \frac{1}{E}=\frac{e^{-E \cdot y}}{[1-e^{ -E \cdot y}]}=n(E)$
Chegamos a finalmente:
$p(E n)=\frac{1}{[e^{ \frac{E n}{KT}} -1]}$
Que é a estatística de Bose-Einstein, essa que diz o número médio de ocupação pra um sistema bosônico. Num caso mais geral teríamos um (E-potencial químico) onde você vê E.