Soluções Física - Semana 2

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Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Primeiramente, calculemos a massa de Marte

 M = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3 \cdot \mu

Agora, se igualarmos a força de atração gravitacional à resultante centripeta, descobriremos a velocidade de Phobos

 \frac{m \cdot v^2}{r} = \frac{M m }{r^2} G \Rightarrow v = \sqrt{\frac{MG}{r}}

Então basta notarmos que o período é o comprimento da órbita dividido pela velocidade e substituirmos os valores

 P = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{MG}{r}}} \Rightarrow P = \sqrt{\frac{4\pi^2r^3}{GM}}

Substituindo a expressão para M:

P = \sqrt{\frac{3\pi r^3}{\mu R^3}}

Intermediário (Solução por Victor Sales)

a)

Solução - Questão 2 - Intermediário

De acordo com a figura, temos, adotando o eixo x para a direita e o y para cima:

\tau = r P_1 - r {P_2}_T = r g (M_1 - M_2 sin{\theta})

b)

L = r M_1 v + I \omega- r M_2 v = r v (M_1 - M_2) + I \omega

c)

\tau = \frac{dL}{dt} \Rightarrow r g (M_1 - M_2 sin{\theta}) = r a (M_1 - M_2) + I \alpha

Mas \alpha = a/r, então:

r g (M_1 - M_2 sin{\theta}) = r a (M_1 - M_2) + I \frac{a}{r}


g (M_1 - M_2 sin{\theta}) = a(\frac{I}{r^2} + M_1 - M_2)


a = \frac{M_1 - M_2 sin{\theta}}{\frac{I}{r^2} + M_1 - M_2} g

Avançado (Solução por Victor Sales)

No caso de vapor saturado, o número de partículas saindo da superfície é igual ao número de partículas que entram. No vácuo, a situação é a mesma.

Então, o número de moléculas de gás que chegam à superfície S, durantante um intervalo de tempo \Delta t é dado por N_1 = \frac12 n S \langle |v_x| \rangle \Delta t, com \langle |v_x| \rangle sendo a média do módulo da componente x da velocidade e n sendo a concentração de moléculas.

Para calcular n basta utilizar a Equação de Clapeyron:

P V = N k_B T \Rightarrow n = \frac{P}{k_B T}

Onde N é o número total de moléculas e k_B é a constante de Boltzmann.

Podemos calcular \langle |v_x| \rangle usando que \langle |v_x| \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \langle |v| \rangle \approx \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\langle |v|^2 \rangle} = \sqrt{\frac34 \frac{RT}{\mu}}. Onde \mu é a massa molar do gás.

Como cada molécula possui massa \frac{\mu}{N_A}, a quantidade de massa por unidade de área e por unidade de tempo é:

\Phi = \frac{\Delta M}{S \Delta t} = \frac{\mu}{N_A} \frac{N_1}{S \Delta t} = \frac12 \frac{\mu P}{R T} \langle |v_x| \rangle = \frac14 P \sqrt{3 \frac{\mu}{R T}}

Usando que \mu = 18 \frac{g}{mol} e os valores numéricos fornecidos, temos:

\Phi = 2.7 \frac{kg}{m^2 s}

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