Soluções Física - Semana 3

Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Podemos ver que se o segundo corpo não alcançar o primeiro antes da velocidade do primeiro se tornar igual a sua a distância entre tornará a aumentar e o feito será impossível. Assim podemos olhar para o caso limite, onde eles se encontram no momento que as velocidades se igualam. Portanto:

$$t = \frac{v}{a}$$

onde $t$ é o tempo de encontro.

No encontro podemos igualar os espaços, assim:

$$v(t - \Delta t) = \frac{at^2}{2} \Rightarrow v\Delta t = vt - \frac{at^2}{2} =\frac{v^2}{a} -\frac{v^2}{2a} = \frac{v^2}{2a}\Rightarrow 2a\Delta t = v$$

Como estamos lidando com um caso limite, vemos que se v for maior que $2a\Delta t$ também ocorrerá encontro, portanto a condição que queremos é $v \geq 2a\Delta t$

 

Intermediário (Solução por Victor Sales)

$i)$ No ciclo completo $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$, temos que $\eta = \frac{Q_{12} + Q_{23} + Q_{34} + Q_{41}}{Q_{12} + Q_{41}}$

$ii)$ No ciclo $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$, o rendimento é dado por

$$\eta_1 = 1 + \frac{Q_{24}}{Q_{12} + Q_{41}} \Rightarrow Q_{12} + Q_{41} = \frac{Q_{24}}{\eta_1 - 1}$$

$iii)$ No ciclo $2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2$, temos $Q_{42} = -Q_{24}$, o que faz com que o rendimento seja dado por

$$\eta_2 = 1 - \frac{Q_{23} + Q_{34}}{Q_{24}} \Rightarrow Q_{23} + Q_{34} = (1 - \eta_2)Q_{24}$$

Substituindo $(iii)$ e $(ii)$ em $(i)$:

$$\eta = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1 \eta_2$$

 

Avançado (Solução por Victor Sales)

Se a fonte é isotrópica, a fração de luz transmitida, $T$, é a razão entre área $a$ da pequena calota e área da esfera de raio $R$: $T = \frac{a}{4 \pi R^2}$.

A calota de altura $h$ tem área $a = \frac{h}{R} 2 \pi R^2 = \frac{R - y}{R} 2 \pi R^2$.

Lembrando que só a luz que tenha ângulo de incidência menor que $\theta_c$ onde $n sin{\theta_c} = 1$ escapa.

Usando que $y = R cos{\theta_c}$, temos:

$$a = (1 - cos{\theta_c}) 2 \pi R^2 \Rightarrow T = \frac12 (1 - cos{\theta_c}) \Rightarrow T = \frac12 (1 - \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}})$$