Iniciante (Solução por Renner Leite)
Para que dê certo, a velocidade deve ter o ângulo
tal que:
De modo a “anular” qualquer velocidade na direção do rio, impedindo qualquer desvio de ocorrer. Em suma:
Intermediário (Solução por Victor Sales)
A primeira lei da termodinâmica para o quarto com a geladeira é dada por
, onde
é o trabalho feito pelo motor da geladeira e
é a energia interna. Naturalmente,
, com
e
, onde
é a quantidade de calor transferida da geladeira para o quarto.
![\Delta U = W](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a9560c193106f3e9197ab350a5a5facb.gif?w=640&ssl=1)
![W](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_61e9c06ea9a85a5088a499df6458d276.gif?w=640&ssl=1)
![U](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4c614360da93c0a041b22e537de151eb.gif?w=640&ssl=1)
![\Delta U = {\Delta U}_q + {\Delta U}_g](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_cf9400eddcde511759a6852efa732eeb.gif?w=640&ssl=1)
![{\Delta U}_g = W - Q](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_504193e0eca44f87f7d01d3e6a96f481.gif?w=640&ssl=1)
![{\Delta U}_q = Q](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_5bcd135941bcff85a34dade0638160fa.gif?w=640&ssl=1)
![Q](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.gif?w=640&ssl=1)
a)
![i)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_71e30cee73fa1933d3cd6959ef542ab9.gif?w=640&ssl=1)
![W data-recalc-dims=](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_20ac1659c6f80226221e79141ae50b5c.gif?w=640&ssl=1)
![{\Delta U}_g \geq 0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7f245748094b29cf23dd7e090e7d6aa6.gif?w=640&ssl=1)
![{\Delta U}_g < W](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_81585abf8dc2e37be156b19939a4f642.gif?w=640&ssl=1)
![ii)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a5efa8186bd4a083c7b71c83fc4135e2.gif?w=640&ssl=1)
![T_1](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2452fee413f58bb9509e88d80d4b9f8d.gif?w=640&ssl=1)
![Q < 0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_c2e0ed69a1fbbbd4ab545c24d0e0ace3.gif?w=640&ssl=1)
![W = 0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_302b9e6f697eb352475fa548227f04dd.gif?w=640&ssl=1)
![T_2](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_6a058d102910f33a7d4cf9ea23067b8c.gif?w=640&ssl=1)
![(ii)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_0aff6a0421e79365ab8fcc70d0385828.gif?w=640&ssl=1)
b) Para o caso da geladeira cheia e fechada, o processo segue as mesmas etapas descritas em
e
de (a), mas a capacidade térmica da geladeira aumentou por causa da comida, então o processo é, no início, mais lento. Além disso
Q_{(a)}" /> (por unidade de tempo), no início, porque parte do calor da geladeira também é transferido para a comida.
![(i)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ec679f15073b718baac49d374fb821de.gif?w=640&ssl=1)
![(ii)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_0aff6a0421e79365ab8fcc70d0385828.gif?w=640&ssl=1)
![Q_{(b)} data-recalc-dims=](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9e1d76a56c3e8a229785572334fa2735.gif?w=640&ssl=1)
c) Neste caso, a geladeira não se desliga nunca e a temperatura cresce monotonicamente e mais rapidamente. No início, o acréscimo é mais lento, porque a geladeira tem capacidade térmica menor.
Visualmente, temos o seguinte gráfico que representa, qualitativamente, o que acontece com a temperatura ao passar do tempo:
Avançado (Solução por Victor Sales)
![i)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_71e30cee73fa1933d3cd6959ef542ab9.gif?w=640&ssl=1)
![F_G = - \frac{g}{R} x](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_eb2f28b15a8f78b53d1e3727ac975e4a.gif?w=640&ssl=1)
![x](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif?w=640&ssl=1)
![F_A = - b v](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_c42334b5c42b336ef19de46aa069767c.gif?w=640&ssl=1)
![F_R = F_G + F_A](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b48018acd941c0367c4499c7e8c6ae35.gif?w=640&ssl=1)
Que é a equação característica de um movimento oscilante amortecido.
Sendo
e
a frequência natural do oscilador e a taxa de amortecimento, respectivamente, temos:
![{\omega}_0 = \sqrt{\frac{g}{m R}} = \frac{1}{8000} Hz](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1146278ecfc249bb7f6fad0fde0864eb.gif?w=640&ssl=1)
![\zeta = \frac{b}{2 m {\omega}_0} = \frac35](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_94ae9b7c160b0964c72b2e8eea003020.gif?w=640&ssl=1)
Como
, o amortecimento é sub-crítico e possui solução da seguinte forma:
![\zeta < 1](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_41f20049dc0332dd9efd9fb50adae060.gif?w=640&ssl=1)
![\omega = {\omega}_0 \sqrt{1 - {\zeta}^2} = \frac{1}{10000} Hz](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_fc680a9faf31c892936a377bfb51e1c2.gif?w=640&ssl=1)
Substituindo as condições iniciais:
e
, temos:
![x(0) = -R](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2b0ecc7fd0c4781374db2d19516ee134.gif?w=640&ssl=1)
![\dot{x}(0) = 0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_515332e090485ebbffa95f1e1e5c3b4e.gif?w=640&ssl=1)
Queremos resolver
, ou seja:
![x(\Delta t) = 0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_5e20015cb22c72cd21bfed95ef0fff26.gif?w=640&ssl=1)
![ii)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a5efa8186bd4a083c7b71c83fc4135e2.gif?w=640&ssl=1)
Cuja solução é dada por
, usando as condições inicais novamente, temos:
.
![x(t) = A cos({\omega}_0 t) + B sin({\omega}_0 t)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_e161bd06c8ff56b95939f16c2b6e0792.gif?w=640&ssl=1)
![x(t) = - R cos({\omega}_0 t)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3715c6da303113af00cfa992b84a9e76.gif?w=640&ssl=1)
Queremos ![x({\Delta t}_0) = 0 \Rightarrow {\omega}_0 {\Delta t}_0 = \frac{\pi}{2} = \frac32](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_fb515f97820ca32c8a82a76d11d6946c.gif?w=640&ssl=1)
![x({\Delta t}_0) = 0 \Rightarrow {\omega}_0 {\Delta t}_0 = \frac{\pi}{2} = \frac32](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_fb515f97820ca32c8a82a76d11d6946c.gif?w=640&ssl=1)
Ou seja: