Soluções Física - Semana 6

Iniciante (Solução por Renner Leite)

Para que dê certo, a velocidade $v_{b}$ deve ter o ângulo $\alpha$ tal que:

$v_{b}cos\alpha = v_{c}$

De modo a “anular” qualquer velocidade na direção do rio, impedindo qualquer desvio de ocorrer. Em suma:

$\alpha = arccos \frac{v_{c}}{v_{b}}$

Intermediário (Solução por Victor Sales)

A primeira lei da termodinâmica para o quarto com a geladeira é dada por

$\Delta U = W$ , onde

$W$ é o trabalho feito pelo motor da geladeira e

$U$ é a energia interna. Naturalmente,

$\Delta U = {\Delta U}_q + {\Delta U}_g$ , com

${\Delta U}_g = W - Q$ e

${\Delta U}_q = Q$ , onde

$Q$ é a quantidade de calor transferida da geladeira para o quarto.

$i)$ Quando a geladeira é ligada, a temperatura no quarto vai aumentar porque

$W > 0$ e

${\Delta U}_g \geq 0$ e porque pela segunda lei da termodinâmica

${\Delta U}_g < W$ .

$ii)$ Quando a temperatura dentro da geladeira atinge um certo valor

$T_1$ , ela é desligada automaticamente. Assim

$Q < 0$ ,

$W = 0$ e a temperatura dentro do quarto vai diminuir até atingir um certo valor

$T_2$ . A situação vai se repetir, mas com intervalos de tempo devidos a

$(ii)$ cada vez mais curtos, porque a transferência de calor pelas paredes da geladeira é maior para temperaturas do quarto mais altas, até que finalmente os intervalos de tempo desaparecem e a temperatura do quarto cresce até que a geladeira se quebre.

b) Para o caso da geladeira cheia e fechada, o processo segue as mesmas etapas descritas em

$(i)$ e

$(ii)$ de (a), mas a capacidade térmica da geladeira aumentou por causa da comida, então o processo é, no início, mais lento. Além disso

$Q_{(b)} > Q_{(a)}$ (por unidade de tempo), no início, porque parte do calor da geladeira também é transferido para a comida.

c) Neste caso, a geladeira não se desliga nunca e a temperatura cresce monotonicamente e mais rapidamente. No início, o acréscimo é mais lento, porque a geladeira tem capacidade térmica menor.

Visualmente, temos o seguinte gráfico que representa, qualitativamente, o que acontece com a temperatura ao passar do tempo:

Avançado (Solução por Victor Sales)

$i)$ A força gravitacional atuante no aparelho será igual a

$F_G = - \frac{g}{R} x$ , onde

$x$ é a distância ao centro da Terra. A força de amortecimento, por ser linear, é igual a

$F_A = - b v$ . Usando que

$F_R = F_G + F_A$ , temos:

$ma = - \frac{g}{R} x - b v \Rightarrow \ddot{x} + \frac{b}{m} \dot{x} + \frac{g}{m R} x = 0$

Que é a equação característica de um movimento oscilante amortecido.

Sendo

${\omega}_0 = \sqrt{\frac{g}{m R}} = \frac{1}{8000} Hz$ e

$\zeta = \frac{b}{2 m {\omega}_0} = \frac35$ a frequência natural do oscilador e a taxa de amortecimento, respectivamente, temos:

$\ddot{x} + 2 \zeta {\omega}_0 \dot{x} + {{\omega}_0}^2 x = 0$

Como

$\zeta < 1$ , o amortecimento é sub-crítico e possui solução da seguinte forma:

$x(t) = e^{-\zeta {\omega}_0 t}(A cos(\omega t) + B sin(\omega t))$

, onde

$\omega = {\omega}_0 \sqrt{1 - {\zeta}^2} = \frac{1}{10000} Hz$

Substituindo as condições iniciais:

$x(0) = -R$ e

$\dot{x}(0) = 0$ , temos:

$x(t) = - R e^{-\zeta {\omega}_0 t}(cos(\omega t) + \frac{\zeta {\omega}_0}{\omega} sin(\omega t))$

Queremos resolver

$x(\Delta t) = 0$ , ou seja:

$cos(\omega \Delta t) = - \frac{\zeta {\omega}_0}{\omega} sin(\omega \Delta t) \Rightarrow tg(\omega \Delta t) = - \frac43$

$\Rightarrow \omega \Delta t = \pi - {{tg}^{-1}}(\frac43) = 3 - 0.93 = 2.07$

$\Rightarrow \Delta t = \frac{2.07}{\omega} \Rightarrow \Delta t = 2.07 \times 10^5 s \approx 2.4 dias$

$ii)$ Caso não houvesse o líquido amortecedor, a equação resultante seria esta:

$\ddot{x} + {{\omega}_0}^2 x = 0$

Cuja solução é dada por

$x(t) = A cos({\omega}_0 t) + B sin({\omega}_0 t)$ , usando as condições inicais novamente, temos:

$x(t) = - R cos({\omega}_0 t)$ .

Queremos

$x({\Delta t}_0) = 0 \Rightarrow {\omega}_0 {\Delta t}_0 = \frac{\pi}{2} = \frac32$

$\Rightarrow {\Delta t}_0 = \frac{3}{2 {\omega}_0} \Rightarrow {\Delta t}_0 = 1.2 \times 10^4 s = 3h 20m$

Ou seja:

$\frac{{\Delta t}}{{\Delta t}_0} = 17.25$