Soluções Física - Semana 7

Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Vamos adotar um sistema cartesiano "torto", onde o eixo x coincide com o plano inclinado e a origem é onde o corpo está antes de ser arremessado.

Assim, as equações para x e y são:

$x = v_{0}\cos(\theta - \alpha)t - \frac{gt^2}{2}\sin(\alpha)$

$y = v_{0}\sin(\theta - \alpha)t - \frac{gt^2}{2}\cos(\alpha)$

Vemos que $y = 0 \Leftrightarrow t = 0$ ou $t = \frac{2v_{0}\sin(\theta - \alpha)}{g\cos(\alpha)}$

Substituindo em x:

$R = \frac{2v_{0}^2\sin(\theta - \alpha)}{g\cos^2(\alpha)}(\cos(\theta - \alpha)\cos(\alpha) - \sin(\theta - \alpha)\sin(\alpha)) =\frac{2v_{0}^2\sin(\theta - \alpha)}{g\cos^2(\alpha)}cos(\theta)$

Intermediário (Solução por Victor Sales)

$i)$ Para nossa análise, podemos dizer que o carro da empresa sai de um ponto G ao mesmo tempo que o cientista pega o trem. Ou seja, se o trem leva um tempo ${\Delta t}_1$ para ir deixar o Succa na casa de Sictor, a distância da casa deste até o ponto G será $V_c {\Delta t}_1$ , como na figura, onde $V_c$ é a velocidade da limousine.

Na figura,

$V_T$ é a velocidade média do trem.

$ii)$ Chame de

$T = {\Delta t}_1 + {\Delta t}_2$ o tempo que Succa leva para fazer toda a sua viagem, em um dia normal, e

$T'$ o tempo no dia em que levantou mais cedo.

$iii)$ Denotemos com uma linha os tempos relativos ao dia em que levantou mais cedo. Temos então:

${{\Delta t}_1}' = {\Delta t}_1 - {\Delta t}_0$ , onde

${\Delta t}_0$ é quanto tempo ele pegou o trem mais cedo.

$iv)$ Sendo

$S_c$ o espaço percorrido pelo carro desde G, e

$x_c$ a posição do carro, considerando a casa de Sictor como o ponto onde

$x = 0$ , temos:

${S_c}_1 = V_c {{\Delta t}_1}' \Rightarrow {x_c}_1 = x_G - {S_c}_1$

$\Rightarrow {x_c}_1 = V_c ({\Delta t}_1 - {{\Delta t}_1}') \Rightarrow {x_c}_1 = V_c {\Delta t}_0$

$v)$ Sendo

$V$ a velocidade de caminhada dos cientistas, temos que o tempo para se encontrarem com a limousine,

${{\Delta t}_2}'$ é dado por (lembrando que se encontram na posição

$0$ ):

$(V_c + V) {{\Delta t}_2}' = {x_c}_1 \Rightarrow {{\Delta t}_2}' = \frac{V_c}{V_c + V} {\Delta t}_0$

$vi)$ Ao se encontrarem, a posição do carro será:

${x_c}_2 = {x_c}_1 - V_c {{\Delta t}_2}' = V_c ({\Delta t}_0 - {{\Delta t}_2}')$

$\Rightarrow {x_c}_2 = \frac{V_c V}{V_c + V} {\Delta t}_0$

$vii)$ O Tempo para chegar ao Noic,

${{\Delta t}_3}'$ , é dado por:

$V_c {{\Delta t}_3}' = x_{Noic} - {x_c}_2 \Rightarrow {{\Delta t}_3}' = {\Delta t}_2 - \frac{V}{V_c + V}{\Delta t}_0$

$Viii)$

$T' = {{\Delta t}_1}' + {{\Delta t}_2}' + {{\Delta t}_3}'$

$\Rightarrow T' = {\Delta t}_1 - {\Delta t}_0 + \frac{V_c}{V_c + V}{\Delta t}_0 + {\Delta t}_2 - \frac{V}{V_c + V}{\Delta t}_0$

$\Rightarrow T' = T - (1- \frac{V_c - V}{V_c + V}){\Delta t}_0 \Rightarrow T - T' = \frac{2 V}{V_c + V}{\Delta t}_0$

$\Rightarrow \Delta T = \frac{2}{\eta + 1}{\Delta t}_0$

Substituindo

$\eta = 11$ e

${\Delta t}_0 = 1 h$ , temos:

$\Delta T = \frac{2}{12} h = \frac16 h = 10 min$

Avançado (Solução por Victor Sales)

$i)$ Pela conservação do momento,

$V_{\alpha} = V_{n} = V$

$ii)$ Pela conservação da energia:

$E_0 = E_f \Rightarrow 0 = E_{\alpha} + E_n - E \Rightarrow E_{\alpha} + E_n = E$

$iii)$

$E_{He} = \gamma m_{\alpha} c^2$ e

$E_n = \gamma m_{n} c^2$ , onde

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}}$

$iv)$ Assumindo que

$m_p = m_n = m$ , temos que

$E_{\alpha} = 4 m \gamma c^2$ e

$E_n = m \gamma c^2$

Substituindo em

$(ii)$ :

$5m \gamma c^2 = E \Rightarrow \gamma c^2 = \frac{E}{5 m}$

Ou seja:

$E_{\alpha} = \frac45 E$

$E_n = \frac15 E$