Soluções Física - Semana 7

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Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Vamos adotar um sistema cartesiano "torto", onde o eixo x coincide com o plano inclinado e a origem é onde o corpo está antes de ser arremessado.

Assim, as equações para x e y são:

x = v_{0}\cos(\theta - \alpha)t - \frac{gt^2}{2}\sin(\alpha)

y = v_{0}\sin(\theta - \alpha)t - \frac{gt^2}{2}\cos(\alpha)

Vemos que y = 0 \Leftrightarrow t = 0 ou t = \frac{2v_{0}\sin(\theta - \alpha)}{g\cos(\alpha)}

Substituindo em x:

 R = \frac{2v_{0}^2\sin(\theta - \alpha)}{g\cos^2(\alpha)}(\cos(\theta - \alpha)\cos(\alpha) - \sin(\theta - \alpha)\sin(\alpha)) =\frac{2v_{0}^2\sin(\theta - \alpha)}{g\cos^2(\alpha)}cos(\theta)

Intermediário (Solução por Victor Sales)

i) Para nossa análise, podemos dizer que o carro da empresa sai de um ponto G ao mesmo tempo que o cientista pega o trem. Ou seja, se o trem leva um tempo {\Delta t}_1 para ir deixar o Succa na casa de Sictor, a distância da casa deste até o ponto G será V_c {\Delta t}_1, como na figura, onde V_c é a velocidade da limousine.

 

Na figura, V_T é a velocidade média do trem.
ii) Chame de T = {\Delta t}_1 + {\Delta t}_2 o tempo que Succa leva para fazer toda a sua viagem, em um dia normal, e T' o tempo no dia em que levantou mais cedo.
iii) Denotemos com uma linha os tempos relativos ao dia em que levantou mais cedo. Temos então: {{\Delta t}_1}' = {\Delta t}_1 - {\Delta t}_0, onde {\Delta t}_0 é quanto tempo ele pegou o trem mais cedo.
iv) Sendo S_c o espaço percorrido pelo carro desde G, e x_c a posição do carro, considerando a casa de Sictor como o ponto onde x = 0, temos:

{S_c}_1 = V_c {{\Delta t}_1}' \Rightarrow {x_c}_1 = x_G - {S_c}_1

\Rightarrow {x_c}_1 = V_c ({\Delta t}_1 - {{\Delta t}_1}') \Rightarrow {x_c}_1 = V_c {\Delta t}_0

v)Sendo V a velocidade de caminhada dos cientistas, temos que o tempo para se encontrarem com a limousine, {{\Delta t}_2}' é dado por (lembrando que se encontram na posição 0):

(V_c + V) {{\Delta t}_2}' = {x_c}_1 \Rightarrow {{\Delta t}_2}' = \frac{V_c}{V_c + V} {\Delta t}_0

vi)Ao se encontrarem, a posição do carro será:

{x_c}_2 = {x_c}_1 - V_c {{\Delta t}_2}' = V_c ({\Delta t}_0 - {{\Delta t}_2}')

\Rightarrow {x_c}_2 = \frac{V_c V}{V_c + V} {\Delta t}_0

vii)O Tempo para chegar ao Noic, {{\Delta t}_3}', é dado por:

V_c {{\Delta t}_3}' = x_{Noic} - {x_c}_2 \Rightarrow {{\Delta t}_3}' = {\Delta t}_2 - \frac{V}{V_c + V}{\Delta t}_0

Viii) T' = {{\Delta t}_1}' + {{\Delta t}_2}' + {{\Delta t}_3}'

\Rightarrow T' = {\Delta t}_1 - {\Delta t}_0 + \frac{V_c}{V_c + V}{\Delta t}_0 + {\Delta t}_2 - \frac{V}{V_c + V}{\Delta t}_0

\Rightarrow T' = T - (1- \frac{V_c - V}{V_c + V}){\Delta t}_0 \Rightarrow T - T' = \frac{2 V}{V_c + V}{\Delta t}_0

\Rightarrow \Delta T = \frac{2}{\eta + 1}{\Delta t}_0

Substituindo \eta = 11 e {\Delta t}_0 = 1 h, temos:

\Delta T = \frac{2}{12} h = \frac16 h = 10 min

 

Avançado (Solução por Victor Sales)

i) Pela conservação do momento, V_{\alpha} = V_{n} = V
ii) Pela conservação da energia:

E_0 = E_f \Rightarrow 0 = E_{\alpha} + E_n - E \Rightarrow E_{\alpha} + E_n = E

iii) E_{He} = \gamma m_{\alpha} c^2 e E_n = \gamma m_{n} c^2, onde \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}}
iv) Assumindo que m_p = m_n = m, temos que E_{\alpha} = 4 m \gamma c^2 e E_n = m \gamma c^2
Substituindo em (ii):

5m \gamma c^2 = E \Rightarrow \gamma c^2 = \frac{E}{5 m}

Ou seja:

E_{\alpha} = \frac45 E

E_n = \frac15 E

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