Soluções Física - Semana 8

Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Assim que a bola é lançada existem duas forças agindo nela, o empuxo da água e a gravidade. Assim, usando $F = ma$ :

$a = Vg\rho/m - Vg\sigma/m = Vg(\rho - \sigma)/m, \quad \text{onde definimos} \quad \sigma = \frac{m}{V}$

Temos então dois casos:

Se $v$ é grande o bastante para que a bola saia da água, teremos que dividir em dois momentos. Até a bola sair da água,usando o teorema da energia cinética:

$\frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = Vg(\rho - \sigma)\cdot H$

Agora usamos o mesmo teorema, porém não existe expuxo:

$\frac{mv_0(\cos\alpha)^2}{2} - \frac{mv^2}{2} = - mg\cdot y \Rightarrow g\cdot y = \frac{v_0(\sin\alpha)^2}{2} -\frac{g(\sigma - \rho)\cdot H}{\sigma} \Rightarrow$

$y = \frac{v_0(\sin\alpha)^2}{2g} -\frac{(\sigma - \rho)\cdot H}{\sigma}$

O outro caso é mais simples, basta usar conservação somente uma vez:

$\frac{mv_0(\cos\alpha)^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = Vg(\rho - \sigma)\cdot y$

E disso conseguimos a altura máxima.

$y = \frac{v_0(\sin\alpha)^2\rho}{2g(\sigma - \rho)}$

Intermediário (Solução por Victor Sales)

Solução - Questão 8 - Intermediário

$i)$ No referencial da partícula B, temos:

$v - u cos{\theta} = - \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$

$\Rightarrow v T - u \int_0^T \! cos{\theta} \, \mathrm{d}t = - \int_L^0 \! \mathrm{d}s = L$

$ii)$ Para achar a integral que precisamos, usaremos que a distância horizontal percorrida pelas duas partículas é a mesma. Ou seja:

$\int_0^T \! v cos{\theta} \, \mathrm{d}t = \int_0^T \! u \, \mathrm{d}t$

$\Rightarrow v \int_0^T \! cos{\theta} \, \mathrm{d}t = u T$

$\Rightarrow \int_0^T \! cos{\theta} \, \mathrm{d}t = \frac{u T}{v}$

Substituindo

$(ii)$ em

$(i)$ :

$v T - \frac{u^2 T}{v} = L \Rightarrow T = \frac{v L}{v^2 - u^2}$

Avançado (Solução por Victor Sales)

Podemos aplicar a lei de Snell para cada uma das camadas, iniciando pela inicial, ou seja:

$n_0 sin{\theta_0} = n_1 sin{\theta_1} = n_2 sin{\theta_2} = ... = n_N sin{{\theta}_N}$

$\Rightarrow n_0 sin{{\theta}_0} = n_N sin{{\theta}_N} = (0.99)^N n_0 sin{{\theta}_N}$

Para que ocorra a reflexão total, devemos ter

$sin{{\theta}_N} = 1$ . Logo:

$N = \frac{ln{sin{{\theta}_0}}}{ln0.99}$

$\Rightarrow \epsilon = Nd = \frac{ln{sin{{\theta}_0}}}{ln0.99} d$

Onde

$\epsilon$ é a espessura da camada de ar.