Soluções Física - Semana 9

Iniciante (Solução por Renner Lucena)

Sabe-se que a força centrípeta é igual a gravitacional no movimento circular. Expressando isso:

$mw^{2}R = \frac{GMm}{R^{2}}$

Sendo: $w=\frac{2\pi}{T}$ E cancelando $m$ :

$(\frac{2\pi}{T})^{2} R^{3}= GM$

$\frac{R^{3}}{T^{2}} = \frac{GM}{4{\pi}^{2}} = cte$

Está mostrado, o raio ao cubo sobre o período ao quadrado é constante.

Intermediário (Solução por Victor Sales)

Solução - Questão 9 - Intermediário

$i)$ Sendo

$L$ o comprimento do rio, temos, de acordo com a figura, que o tempo para atrevessar o rio será:

$\Delta t = \frac{L}{V_B \sin{\theta}}$

$ii)$ O arraste

$D$ é dado por:

$D = (V_C + V_B \cos{\theta}) \Delta t = \frac{V_C + V_B \cos{\theta}}{V_B \sin{\theta}} L$

$\Rightarrow D = \frac{V_C \mathrm{cossec}{\theta} + V_B \mathrm{cotg}{\theta}}{V_B} L$

Para minimizar o arrasto, devemos ter:

$\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}{\theta}} = 0 \Rightarrow V_C (- \mathrm{cotg}{\theta}\mathrm{cossec}{\theta}) + V_B (- {\mathrm{cossec}^2}{\theta}) = 0$

$\Rightarrow V_C \mathrm{cotg}{\theta} = - v_B \mathrm{cossec}{\theta}$

$\Rightarrow \cos{\theta} = - \frac{V_B}{V_C}$

Avançado (Solução por Victor Sales)

$i)$ Vamos calcular a força que a chuva exerce na chapa. Para isso, considere um volume de chuva

$\mathrm{d}V = L^2 \mathrm{d}y$ acima da chapa. Nesse volume, há

$\mathrm{d}N = n \mathrm{d}V = n L^2 \mathrm{d}y$ gotas de chuva. Como as colisões são elásticas temos, calculando a variação do momento das gotas:

$\mathrm{d}p = - \mathrm{d}N \, 2 m V = - 2 n m V L^2 \mathrm{d}y$

A força exercida no bloca será, então:

$F = - \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = 2 n m V L^2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$

$\Rightarrow F = 2 n m L^2 V^2$

$ii)$ Com isso:

$N = P + F \Rightarrow N = Mg + 2 n m L^2 V^2$

$\Rightarrow F_{at} = \mu N \Rightarrow F_{at} = \mu M (g + 2 \frac{m}{M} n L^2 V^2)$

$M \ddot{x} = - F_{at} \Rightarrow \ddot{x} = a = - \mu (g + 2 \frac{m}{M} n L^2 V^2)$

Ou seja, o movimento terá aceleração constante

$a$ e velocidade inicial

$V_0$ . A distância percorrida pela chapa até parar será:

$D = - \frac{V_0^2}{2 a} \Rightarrow D = \frac{V_0^2}{2 \mu (g + 2 \frac{m}{M} n L^2 V^2)}$