Soluções Física - Semana 9

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Iniciante (Solução por Renner Lucena)

Sabe-se que a força centrípeta é igual a gravitacional no movimento circular. Expressando isso:

 mw^{2}R = \frac{GMm}{R^{2}}

Sendo: w=\frac{2\pi}{T} E cancelando m:

(\frac{2\pi}{T})^{2} R^{3}= GM

\frac{R^{3}}{T^{2}} = \frac{GM}{4{\pi}^{2}} = cte

Está mostrado, o raio ao cubo sobre o período ao quadrado é constante.

Intermediário (Solução por Victor Sales)

Solução - Questão 9 - Intermediário

i) Sendo L o comprimento do rio, temos, de acordo com a figura, que o tempo para atrevessar o rio será:

\Delta t = \frac{L}{V_B \sin{\theta}}

ii) O arraste D é dado por:

D = (V_C + V_B \cos{\theta}) \Delta t = \frac{V_C + V_B \cos{\theta}}{V_B \sin{\theta}} L

\Rightarrow D = \frac{V_C \mathrm{cossec}{\theta} + V_B \mathrm{cotg}{\theta}}{V_B} L

Para minimizar o arrasto, devemos ter:

\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}{\theta}} = 0 \Rightarrow V_C (- \mathrm{cotg}{\theta}\mathrm{cossec}{\theta}) + V_B (- {\mathrm{cossec}^2}{\theta}) = 0

\Rightarrow V_C \mathrm{cotg}{\theta} = - v_B \mathrm{cossec}{\theta}

\Rightarrow \cos{\theta} = - \frac{V_B}{V_C}

Avançado (Solução por Victor Sales)

i) Vamos calcular a força que a chuva exerce na chapa. Para isso, considere um volume de chuva \mathrm{d}V = L^2 \mathrm{d}y acima da chapa. Nesse volume, há \mathrm{d}N = n \mathrm{d}V = n L^2 \mathrm{d}y gotas de chuva. Como as colisões são elásticas temos, calculando a variação do momento das gotas:

\mathrm{d}p = - \mathrm{d}N \, 2 m V = - 2 n m V L^2 \mathrm{d}y

A força exercida no bloca será, então:

F = - \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = 2 n m V L^2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}

\Rightarrow F = 2 n m L^2 V^2

ii) Com isso:

N = P + F \Rightarrow N = Mg + 2 n m L^2 V^2

\Rightarrow F_{at} = \mu N \Rightarrow F_{at} = \mu M (g + 2 \frac{m}{M} n L^2 V^2)

M \ddot{x} = - F_{at} \Rightarrow \ddot{x} = a = - \mu (g + 2 \frac{m}{M} n L^2 V^2)

Ou seja, o movimento terá aceleração constante a e velocidade inicial V_0. A distância percorrida pela chapa até parar será:

D = - \frac{V_0^2}{2 a} \Rightarrow D = \frac{V_0^2}{2 \mu (g + 2 \frac{m}{M} n L^2 V^2)}

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