Soluções Física - Semana 23

Iniciante:
A velocidade dum ponto da esfera é a velocidade do ponto em relação ao centro de massa mais a velocidade do centro de massa,ou seja:

$V_{cm}-\omega r cos(\theta)=V$

Em que r é a distância do ponto ao centro de massa e theta é o cosseno que o vetor r faz com o eixo y.

Se no chão a velocidade é 0 (cos(\theta)=1 e r=R):

$V_{cm}=\omega R$

Intermediário:

Sabemos que o momento angular de uma partícula de massa m,e a uma distância r_{n}=\frac{nR}{N} (sendo n um inteiro que é maior ou igual a um e menor ou igual a N e R é a distância da última partícula à origem)

Se todas as massas são iguais:

$m=\frac{M}{N}$

O momento angular do sistema é a soma dos momentos angulares:

$L=\sum^N _{1}mvr_{i}=\sum^N _ {1} m\omega (r_{i})^2$

$L=\frac{M\omega R^2}{N^3} \sum^N _{1} n^2$

$n^2=n(n-1)+n=2C^n _{2}+ C^n_{1}$

E usando propriedades do triângulo de pascal:

$\sum^N _{1} n^2=\frac{(2N+1)(N+1)N}{6}$

E usando $L=I\omega$

$I(N,M,R)=\frac{MR^2 (2N+1)(N+1)N}{6N^3}$

Se N--->$\infty$

$I(N,M,R)=\frac{MR^2}{3}$

Avançado:

Temos que um sistema termodinâmico,em geral,tende a respeitar:

$S=k ln(\Omega)$

Em que $\Omega$ é o número de microestados do sistema,que é dado por

$\Omega(N,N_{1},N_{2})=C^N _{N_{1}}$

Sendo $N_{1}$ o número de partí ulas com momento de dipolo magnético m,e $N_{2}$ com -m.

Usando aproximação de stiriling($ln(N!)=Nln(N)-N$),e que $N_{2}=N-N_{1}$,fatos também notáveis:

$E=N_{2} mB -N_{1} mB$

$N_{1}=\frac{N}{2}(1-\frac{u}{mB})$

Se definido:

$\frac{E}{N}=u$

Juntando tudo:

$\frac{S}{N}=s=-\frac{k}{2}[(1-\frac{u}{mB})ln (1-\frac{u}{mB})+(1+\frac{u}{mB})ln(1+\frac{u}{mB})]$

Usando:

$\frac{ds}{du}=\frac{1}{T}$

e simplificando:

$u=-mB tanh(\frac{mB}{kT})$

Mas:

$u=-m_{medio} B$

$m_{medio}=m \ tanh(\frac{mB}{kT})$

O que faz sentido,já que tanh está entre -1 e 1($|m_{medio}|<|m|$,não há alinhamento total,isso implicaria B infinito ou T=0),no caso,o $m_{medio}$ para temperaturas positivas e campos magnéticos muito grandes é praticamente m (Domínios totalmente alinhados com o campo magnético externo),enquanto para temperaturas negativas é -m,(Domínios totalmente desalinhados)

Outro exercício interessante é achar a susceptibilidade magnética do meio:

$ksi_{m}=\frac{dm}{dH}$

$ksi_{m}=\frac{\mu_{o} m^2}{kT} sech^2 (\frac{mB}{kT}$

Que é a lei de Pierre Curie:

$ksi_{m}=\frac{C}{T}$

Encontrada experimentalmente pelo mesmo.Logo,temos um belo modelo físico!