MATEMÁTICA - SEMANA 25

Prove que o número $2222^{5555}+5555^{2222}$ é múltiplo de $7$.

Dados reais $a,b,c$ prove que ao menos uma das três equações

$x^2+(a-b)x+(b-c)=0$

$x^2+(b-c)x+(c-a)=0$

$x^2+(c-a)x+(a-b)=0$

possui solução real.

Uma sequência ${a_n}_{n\ge1}$ de números reais satisfaz, para cada $n \ge 1$, a igualdade

$\dfrac{a_{n+3}-a_{n+2}}{a_{<wbr />n}-a_{n+1}} = \dfrac{a_{n+3}+a_{n+2}}{a_{n}+<wbr />a_{n+1}}$.

Sabendo que $a_{11}=4$, $a_{22}=2$ e $a_{33}=1$, mostre que, para todo natural $k$, a soma

$a_{1}^k+a_{2}^k+ ... +a_{100}^k$

é um quadrado perfeito.