MATEMÁTICA - SEMANA 25

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Básico

Prove que o número 2222^{5555}+5555^{2222} é múltiplo de 7.

Intermediário

Dados reais a,b,c prove que ao menos uma das três equações
x^2+(a-b)x+(b-c)=0
x^2+(b-c)x+(c-a)=0
x^2+(c-a)x+(a-b)=0
possui solução real.

Avançado

Uma sequência {a_n}_{n\ge1} de números reais satisfaz, para cada n \ge 1, a igualdade
\dfrac{a_{n+3}-a_{n+2}}{a_{<wbr />n}-a_{n+1}} = \dfrac{a_{n+3}+a_{n+2}}{a_{n}+<wbr />a_{n+1}}.
Sabendo que a_{11}=4, a_{22}=2 e a_{33}=1, mostre que, para todo natural k, a soma
a_{1}^k+a_{2}^k+ ... +a_{100}^k
é um quadrado perfeito.
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