Soluções Matemática - Semana 1

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Problema Iniciante (Solução por Daniel Lima)

Como 2 é a média aritmética de 1 e a, podemos escrever \dfrac{1+a}{2}=2 , logo a=3 ; Agora, b=\dfrac{1+2+3}{3}=2c=\dfrac{1+3+2+2}{4}=2; também d=\dfrac{1+3+2+2+2}{5}=2. Esses exemplos sugerem que todos os termos, a partir do terceiro, são iguais a 2. De fato, quando introduzimos em uma seqüência um termo igual à média de todos os termos da seqüência, a média da nova seqüência é a mesma que a da seqüência anterior. Assim, o último termo da seqüência dada é 2.

 

Problema Intermediário (Solução por Daniel Lima)

a) Subtraindo as duas equações, temos que a^2-b^2=6(b-a) \Longrightarrow (a-b)(a+b)=6(b-a) e como a é diferente de b, podemos cancelar os a-b nos dois lados e obter a+b=-6

b) Elevando a+b ao quadrado obtemos: a^2+b^2+2ab=36 (1)

Somando as equações dadas obtemos a^2+b^2=6(a+b) + 10ab=-36+10ab (2)

Agora, subtraindo (2) de (1) temos que (a^2+b^2+2ab)-(a^2+b^2)=36-(-36+10ab) \Longrightarrow 2ab=72-10ab \Longrightarrow 12ab=72 \Longrightarrow ab=6

 

Problema Avançado (Solução por Daniel Lima)

Seja k inteiro positivo tal que k^2=n+1. Primeiro, notemos que o algarismo das unidades dos quadrados perfeitos são 0, 1, 4, 5, 6 e 9, de modo que B é igual a 9, 3, 4, 5 ou 8. Porém, podemos eliminar alguns casos:

  •  Se B = 9, pois nesse caso k^2 = AAABBB + 1 terminaria com exatamente três zeros (note que A não pode ser igual a 9, pois é diferente de B);
  • Se B = 3,k^2 terminaria com 34, e seria par e não múltiplo de 4, já que os dois últimos algarismos de todo múltiplo de 4 formam outro múltiplo de 4, um absurdo.
  • Se B = 4k^2 terminaria com 45, e seria múltiplo de 5 mas não de 25, já que os dois últimos algarismos de um múltiplo de 25 são 25, 50, 75 ou 00. Outro absurdo.

Sobram somente os casos B = 5 e B = 8. Observe que n=k^2-1=(k+1)(k-1)=111 (1000A+B), que é múltiplo de 111=37*3 e, portanto, os primos 3 e 37 dividem (k+1) ou (k-1) e daí k=111x+1,k=111x-1,k=111x+38 ou k=111x-38. Além disso 111556 \le k^2 \le 1000000 \Longrightarrow 300\le k \le 1000 e daí concluímos que 3 \le k \le 9

k=111x+1 ou k=111x-1

Temos AAABBB= k^2-1=(111x)^2 +-222x \Longrightarrow 1000A+B = 111x^2+-2x. O dígito das unidades de 1000A+B é B. Note que 111x^2+-2x = 2(55x^2+-x) +x^2 tem a mesma paridade de x^2.  Assim, se B=5, x é ímpar, ou seja, é 3, 5, 7 ou 9. Se x=3, 5, 7, 9 o algarismo da unidades de111x^2 +2x é 5, 5, 3, 9,respsctivamente, o que implica que x=3 ou x=5 para os quais 1000A+B será 111*9+6=1005 e 111*25+10=2785 (Absurdo, pois 1000A+B é da forma AOOB), o que nos gera a solução x=3,A=1 e n=111555. Além disso, se x=3, 5, 7 ou 9, o dígito das unidades de 111x^2-2x é 3, 5, 5, 3, respectivamente. Assim, as únicas possibilidades são x=5x=7, que nos daria 1000A+B igual a 2765 ou 111*49-14=5425 ,absurdo nos dois casos!

Se B=8, x é par, ou seja 4, 6 ou 8. Se x=4, 6, 8, o dígito das unidades de 111x^2+2x é 4, 8 ou 0, respectivamente. Daí, só poderemos ter x=6 e 1000A+B=111*36+12=4008, obtendo assim que A=4. Além disso, se x=4, 6 ou 8, o dígito das unidades de 111x^2-2x será 8, 4 ou 8, respectivamente, nos dando que x=4 ou x=8, para os quais 1000A+B será 111*16-11=1768 ou 111*64-16=7088 e geramos absurdos nos dois casos.

k=111k+38 ou k=111k-38

Temos AAABBB= k^2-1=(111x)^2 +-2*111*38x + 38^2 - 1=111(111x^2+-76x +13)\Longrightarrow 1000A+B = 111x^2+-76x +13. Faremos a mesma análise do dígito das unidades. Se B=5, x é par, ou seja, é 4, 6 ou 8. Se x=4, \ 6, \ 8 o algarismo da unidades de111x^2 +76x +13 é 3, \ 5, \ 5 respectivamente, o que implica que x=6 ou 8  para os quais 1000A+B será 111*36 + 76*6+13=4465 e 111*64+76*8+13=7725 (Absurdo nos dois casos, pois 1000A+B é da forma AOOB). Além disso, se x=4, 6 ou 8, o dígito das unidades de 111x^2-76x +13 é 5, 3 ou 9,respectivamente, de modo que x=4 e 1000A+B=111*16-76*4+13=1485 o que não é possível.

Se B=8, x é ímpar, ou seja: 3, 4, 7 ou 9. Se x=3, 5, 7, 9, o dígito das unidades de 111x^2+76x+13 é 0, 8, 4 ou 8 respectivamente. Daí, só poderemos ter x=5 ou x=9 para os quais 1000A+B=111*25+76*5+13=3168(absurdo) ou k=111*9+38 \ge 1001 (absurdo de novo). Além disso, se x=3, 5, 7 ou 9, o dígito das unidades de 111x^2-76x + 13 será 4, 8, 0 ou 0, respectivamente, nos dando que x=5 e que 1000A+B= 111*25-76*5+13=2408 nos dando um último absurdo.

Logo, só teremos duas soluções, que são AAABBB=111555 e AAABBB=444888

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