Soluções Matemática - Semana 10

Iniciante

Esse é um problema de princípio da casa e dos pombos: Chame de $A$ o bloco de dígitos $12345$. Agora olhe os números formados quando colamos blocos do tipo $A$. Mais especificamente para os números:

$A,AA,AAA,...,AA...AA$ (Onde o último número tem $N+1$ blocos $A$)

Como temos $N+1$ números e só há $N$ restos possíveis por $N$ podemos concluir que há dois dos números acima com o mesmo resto por $N$, digamos aqueles que tem $i$ e $j$ blocos $A$.

Assim, a diferença entre esses dois números será um número do tipo $AAA...A00...0=B$ com $i-j$ blocos $A$ e alguns zeros. Esse número é um múltiplo de $N$ e o nosso primeiro passo será multiplicar $N$ pelo número apropriado para obter $BB$. Como o enunciado nos diz que podemos eliminar grupos $12345=A$, basta eliminar os blocos $A$ e atingimos o número $0$ requerido.

 

Intermediário

Vamos escrever $[x]=x-\{x\}$ onde ${x}$ é a parte fracionária, que é um número no intervalo $[0,1)$. Vamos olhar pra um número genérico da forma $[\dfrac{x}{13}]$ por um momento. Fazendo o algoritmo da divisão para o $x$ em relação ao divisor $13$ temos $x=13q+r$ e assim:

$[\dfrac{x}{13}]=[\dfrac{13q+r}{13}]=q=\dfrac{13q+r}{13}-\dfrac{r}{13}=\dfrac{x}{13}-\dfrac{r}{13}$

Logo, $\{\dfrac{x}{13}\}=\dfrac{r}{13}$ $(1)$.

Voltando ao problema, troque todas as partes inteiras como dissemos no início e a soma $S$ que queremos determinar será

$\dfrac{1}{13}+\dfrac{3}{13}+...+\dfrac{3^{101}}{13} - \{\dfrac{1}{13}\}-\{\dfrac{3}{13}\}-...-\{\dfrac{3^{101}}{13}\}=X-Y$.

A primeira parte é tranquila de calcular, afinal, o denominador é o mesmo e os numeradores são os termos de uma P.G.

Desse modo ficamos com $X=\dfrac{\frac{3^{102}-1}{3-1}}{13}=\dfrac{3^{102}-1}{26}$

Para ajeitar $Y$, usaremos $(1)$. Olhe os restos das potencias de $3$ por $13$

$3^0 \rightarrow 1$

$3^1 \rightarrow 3$

$3^2 \rightarrow 9$

$3^0 \rightarrow 1$

...

$3^{101} \rightarrow 9$

Isso nos diz que tal resto se repete com período $3$ e ficamos com:

$Y=\{\dfrac{1}{13}\}+\{\dfrac{3}{13}\}+...+\{\dfrac{3^{101}}{13}\}=\dfrac{1}{13}+\dfrac{3}{13}+...+\dfrac{9}{13}=34\cdot (\dfrac{1}{13}+\dfrac{3}{13}+\dfrac{9}{13})=34$

Logo, a soma que queríamos calcular é igual a $X-Y=\dfrac{3^{102}-1}{26}-34$ (claramente você não deve dar um resultado exato para o número $3^{102}$).

 

Avançado

Nossa meta será provar que o único número válido é o $1$. Para fazer isso vamos provar que, para todo primo $p$ podemos achar um $a_i$ que seja divisível por $p$.

Devemos fazer isso de um jeito sensato, testando números que tenham relação com $p$.

Ao olhar para alguns números como $a_1,a_p$ e mesmo $a_{p-1}$, vemos que nenhum deles funcionam de modo geral. Nossa cartada final (você pode tentar achar alguma naturalidade para isso fazendo muitos casos iniciais) será provar que $p$ divide $a_{p-2}$ para todo primo maior que $3$.

Pelo teorema de Fermat temos: $6a_{p-2}=3\cdot 2^{p-1}+2\cdot 3^{p-1}+6^{p-1}-6\equiv 3+2+1-6=0 (mod.p)$. Como $p$ não é $2$ nem $3$ e acabamos de ver que $p|6a_{p-2}$ então $p|a_{p-2}$.

Para achar um $a_i$ que seja múltiplo de $2$ ou de $3$ basta olhar para $a_2=48$.

Logo, se $n$ possui algum fator primo $p$, ele obrigatoriamente NÃO será primo com algum dos $a_i`s$ e concluímos a prova do problema.