Soluções Matemática - Semana 10

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Iniciante

Esse é um problema de princípio da casa e dos pombos: Chame de A o bloco de dígitos 12345. Agora olhe os números formados quando colamos blocos do tipo A. Mais especificamente para os números:

A,AA,AAA,...,AA...AA (Onde o último número tem N+1 blocos A)

Como temos N+1 números e só há N restos possíveis por N podemos concluir que há dois dos números acima com o mesmo resto por N, digamos aqueles que tem i e j blocos A.

Assim, a diferença entre esses dois números será um número do tipo AAA...A00...0=B com i-j blocos A e alguns zeros. Esse número é um múltiplo de N e o nosso primeiro passo será multiplicar N pelo número apropriado para obter BB. Como o enunciado nos diz que podemos eliminar grupos 12345=A, basta eliminar os blocos A e atingimos o número 0 requerido.

 

Intermediário

Vamos escrever [x]=x-\{x\} onde {x} é a parte fracionária, que é um número no intervalo [0,1). Vamos olhar pra um número genérico da forma [\dfrac{x}{13}] por um momento. Fazendo o algoritmo da divisão para o x em relação ao divisor 13 temos x=13q+r e assim:

[\dfrac{x}{13}]=[\dfrac{13q+r}{13}]=q=\dfrac{13q+r}{13}-\dfrac{r}{13}=\dfrac{x}{13}-\dfrac{r}{13}

Logo, \{\dfrac{x}{13}\}=\dfrac{r}{13} (1).

Voltando ao problema, troque todas as partes inteiras como dissemos no início e a soma S que queremos determinar será

\dfrac{1}{13}+\dfrac{3}{13}+...+\dfrac{3^{101}}{13} - \{\dfrac{1}{13}\}-\{\dfrac{3}{13}\}-...-\{\dfrac{3^{101}}{13}\}=X-Y.

A primeira parte é tranquila de calcular, afinal, o denominador é o mesmo e os numeradores são os termos de uma P.G.

Desse modo ficamos com X=\dfrac{\frac{3^{102}-1}{3-1}}{13}=\dfrac{3^{102}-1}{26}

Para ajeitar Y, usaremos (1). Olhe os restos das potencias de 3 por 13

3^0 \rightarrow 1

3^1 \rightarrow 3

3^2 \rightarrow 9

3^0 \rightarrow 1

...

3^{101} \rightarrow 9

Isso nos diz que tal resto se repete com período 3 e ficamos com:

Y=\{\dfrac{1}{13}\}+\{\dfrac{3}{13}\}+...+\{\dfrac{3^{101}}{13}\}=\dfrac{1}{13}+\dfrac{3}{13}+...+\dfrac{9}{13}=34\cdot (\dfrac{1}{13}+\dfrac{3}{13}+\dfrac{9}{13})=34

Logo, a soma que queríamos calcular é igual a X-Y=\dfrac{3^{102}-1}{26}-34 (claramente você não deve dar um resultado exato para o número 3^{102}).

 

Avançado

Nossa meta será provar que o único número válido é o 1. Para fazer isso vamos provar que, para todo primo p podemos achar um a_i que seja divisível por p.

Devemos fazer isso de um jeito sensato, testando números que tenham relação com p.

Ao olhar para alguns números como a_1,a_p e mesmo a_{p-1}, vemos que nenhum deles funcionam de modo geral. Nossa cartada final (você pode tentar achar alguma naturalidade para isso fazendo muitos casos iniciais) será provar que p divide a_{p-2} para todo primo maior que 3.

Pelo teorema de Fermat temos: 6a_{p-2}=3\cdot 2^{p-1}+2\cdot 3^{p-1}+6^{p-1}-6\equiv 3+2+1-6=0 (mod.p). Como p não é 2 nem 3 e acabamos de ver que p|6a_{p-2} então p|a_{p-2}.

Para achar um a_i que seja múltiplo de 2 ou de 3 basta olhar para a_2=48.

Logo, se n possui algum fator primo p, ele obrigatoriamente NÃO será primo com algum dos a_i`s e concluímos a prova do problema.

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