Matemática - Semana 11

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Iniciante

Seja ABC um triangulo, D e E pontos no interior dos segmentos BC e CA e F_1 um ponto na reta AB de modo que D,E e F_1 são colineares. Seja P a interseção de AD e BE. Por último, defina F_2 como o encontro de CP e AB. Prove que \dfrac{F_1A}{F_1B}=\dfrac{F_2A}{F_2B}.

 

Intermediário

Prove MA\ge MG para três termos, ou seja, prove que \dfrac{a+b+c}{3}\ge (abc)^{\frac{1}{3}}, sempre que tivermos a,b e c reais não-negativos.

 

Avançado

Sobre uma reta há um conjunto S de 6n pontos. Destes, 4n são escolhidos ao acaso e pintados de azul; os 2n restantes são pintados de vermelho. Prove que existe um segmento que cobre exatamente 3n pontos de S, sendo 2n deles pintados de azul e os outros n pintados de vermelho.

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