Matemática - Semana 14

Iniciante

Encontre todos os pares ordenados de inteiros $(x,y)$ tais que: $x^3-y^3=3(x^2-y^2)$.

 

Intermediário

Seja $ABC$ um triângulo, $M$ o ponto médio do lado $AC$ e $N$ o ponto médio do lado $AB$ . Sejam $r$ e $s$ as reflexões das retas $BM$ e $CN$ sobre a reta $BC$, respectivamente. Defina também $D$ e $E$ como a interseção das retas $r$ e $s$ com a reta $MN$, respectivamente. Sejam $X$ e $Y$ os pontos de interseção entre os circuncírculos dos triângulos $BDM$ e $CEN$ , $Z$ a interseção das retas $BE$ e $CD$ e $W$ a interseção entre as retas $r$ e $s$ . Prove que $XY$,$WZ$ e $BC$ são concorrentes.

 

Avançado

$N$ amigos decidiram ir para uma ilha deserta em suas férias. Durante a viagem eles descobriram que a ilha não era tão deserta assim! Havia uma tribo indígena canibal e esta os capturou. Os amigos são levados, um a um, para $N$ celas solitárias, que evitam que eles possam ter qualquer contato entre si. O rei dos canibais propõe o seguinte aos viajantes:

"Todo dia, um de vocês entrará na sala real e lá haverá uma lâmpada. A pessoa que entrou verá a lâmpada (que pode estar apagada ou acesa) e decidirá se irá alterar o estado dela ou deixá-la como está (alterar significa que se está acesa, ele apagará a lâmpada e vice-versa). Ao sair, tal pessoa terá a oportunidade de dizer a frase 'todos os meus amigos já passaram por essa sala'. Se o que ele afirmou for verdade, todos vocês serão libertos, caso contrário, vocês virarão o nosso próximo jantar. Ah, é claro! Garanto a vocês que todos irão passar pela sala real muitas vezes (ou seja, não há um indivíduo que entra uma vez na sala e nunca mais vai de novo)."

A pergunta é, sabendo que a lâmpada está inicialmente apagada e que os amigos podem combinar uma estratégia entre si antes de entrarem nas celas e ficarem incomunicáveis, determine uma possível estratégia para que eles consiguam ser libertados e voltem para suas famílias!