Matemática - Semana 14

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Iniciante

Encontre todos os pares ordenados de inteiros (x,y) tais que: x^3-y^3=3(x^2-y^2).

 

Intermediário

Seja ABC um triângulo, M o ponto médio do lado AC e N o ponto médio do lado AB . Sejam r e s as reflexões das retas BM e CN sobre a reta BC, respectivamente. Defina também D e E como a interseção das retas r e s com a reta MN, respectivamente. Sejam X e Y os pontos de interseção entre os circuncírculos dos triângulos BDM e CEN , Z a interseção das retas BE e CD e W a interseção entre as retas r e s . Prove que XY,WZ e BC são concorrentes.

 

Avançado

N amigos decidiram ir para uma ilha deserta em suas férias. Durante a viagem eles descobriram que a ilha não era tão deserta assim! Havia uma tribo indígena canibal e esta os capturou. Os amigos são levados, um a um, para N celas solitárias, que evitam que eles possam ter qualquer contato entre si. O rei dos canibais propõe o seguinte aos viajantes:

"Todo dia, um de vocês entrará na sala real e lá haverá uma lâmpada. A pessoa que entrou verá a lâmpada (que pode estar apagada ou acesa) e decidirá se irá alterar o estado dela ou deixá-la como está (alterar significa que se está acesa, ele apagará a lâmpada e vice-versa). Ao sair, tal pessoa terá a oportunidade de dizer a frase 'todos os meus amigos já passaram por essa sala'. Se o que ele afirmou for verdade, todos vocês serão libertos, caso contrário, vocês virarão o nosso próximo jantar. Ah, é claro! Garanto a vocês que todos irão passar pela sala real muitas vezes (ou seja, não há um indivíduo que entra uma vez na sala e nunca mais vai de novo)."

A pergunta é, sabendo que a lâmpada está inicialmente apagada e que os amigos podem combinar uma estratégia entre si antes de entrarem nas celas e ficarem incomunicáveis, determine uma possível estratégia para que eles consiguam ser libertados e voltem para suas famílias!

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