Soluções Matemática - Semana 14

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Problema Iniciante

Se x e y forem iguais, claramente a equação é válida, pois dá 0 dos dois lados. Já se x e y forem diferentes, podemos fatorar a expressão como (x-y)(x^2+xy+y^2)=3(x-y)(x+y) \Longrightarrow (x^2+xy+y^2=3(x+y) \Longrightarrow x^2+x(y-3)+(y^2-3y)=0. Fazendo o Bháskara na variável x vemos que o delta é -3y^2+10y+9 e como tal delta tem que ser não-negativo e y é inteiro, podemos ver, após fazer o gráfico de -3y^2+10y+9 ficamos com y igual a 0,1,2,3 ou 4.

Se y=0\Longrightarrow x=0 ou x=3.

Se y=1\Longrightarrow x=-1 ou x=3.

Se y=2\Longrightarrow x não será inteiro.

Se y=3\Longrightarrow x não será inteiro.

Se y=4\Longrightarrow x=-1 ou x=0

Fica para o leitor verificar que tais pares citados acima funcionam de fato (lembre-se que isso é importante em uma prova).

 

Problema Intermediário

A solução para esse problema pode ser vista aqui. Vá na Eureka 38 (a última das Eurekas disponíveis. A solução começa na página 53.

 

Problema Avançado

Esse problema é legal de pensar, talvez até meio demorado de resolver, mas a solução é bem curta.

Temos n pessoas. Provavelmente, se todas fizerem a mesma coisa, nada de especial vai acontecer, então vamos dar tarefas diferentes para as pessoas: escolha um líder e o resto será "o povo". Sempre que o líder entrar na sala e ver  lâmpada acessa, ele irá apagá-la. Já um "cidadão" do povo, se encontrar a lâmpada acessa, não vai fazer nada e cada um deles vai ter o direito de acender a luz exatamente uma vez, sendo que, quando ele voltar de novo na sala não fará mais nada. Vejamos porque essa estratégia funciona: como todo mundo entra na sala muitas vezes, a lãmpada será acessa n-1 vezes e o líder terá apagado a lâmpada n-1 vezes. Como cada pessoa só acendeu a lâmpada uma vez, o líder saberá que todo "o povo" já entrou na sala e poderá enfim dizer a frase libertadora!

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