Matemática - Semana 15

Problema Iniciante

É dada uma enorme mesa perfeitamente redonda e infinitas pequeninas moedas (muito menores do que a mesa)  também perfeitamente redondas. Dois jogadores jogam o seguinte jogo alternadamente: Em seu turno, o jogador irá colocar uma moedinha na mesa sem sobrepor nenhuma outra moedinha já colocada. Perde o jogo que não conseguir mais jogar. Prove que o primeiro jogador tem como armar uma estratégia para sempre ganhar o jogo.

 

Problema Intermediário

Há uma pilha com $100$ chocolates. Arnaldo e Bernaldo jogam o delicioso jogo de pegar chocolates da pilha em turno. Em seu turno, o jogador deve tirar de $1$ a $5$ chocolates. O último jogador a retirar chocolates ganha o jogo. Quem possui a estratégia vencedora para esse jogo, sabendo que Arnaldo é o primeiro a retirar chocolates?

 

Problema Avançado

Emily e Alexander jogam o seguinte jogo: Emily escolhe um número $x$ de $1$ a $100$. Alexander agora irá fazer perguntas para Emily. As perguntas consistem em Alexander escolher dois números $(m,n)$ de $1$ a $100$ e perguntar para Emily quanto vale $mdc(x+m,n)$. Sabendo que Emily sempre fala a verdade para seu amigo Alexander, prove que Alexander pode descobrir qual é o número de Emily em no máximo $7$ perguntas.