Soluções Matemática - Semana 16

Iniciante

Para esse problema, apresentaremos uma dica de como resolvê-lo e o encerraremos na semana $18$.

Esse é um problema para treinar a sua habilidade de "ter raça", mas também a habilidade de ser esperto para deixar as contas mais fáceis, afinal, ninguém é de ferro.

Escreva o quadrado perfeito $x^2$ de 5 dígitos em sua representação decimal $abcde$ onde $a,b,c,d,e$ são algarismos e $a>0$. Pelo enunciado do problema, sabemos que o número $bcde$ é um quadrado perfeito, ou seja, um número da forma $y^2$. Agora:

$x^2=abcde=10^4a+bcde=10^4a+y^2$

Daí, segue que:

$x^2-y^2=10^4a$ e por fim $(x-y)(x+y)=10^4a$.

Veja que agora utilizamos de uma maneira inteligente o fato dos números sugeridos serem quadrados perfeitos. Tente finalizar o problema com essa dica!

Intermediário

Vamos contar o número de modos de escolher um divisor de $n$:

Ao olhar para um divisor para um divisor $d$ de $n$ logo podemos notar que os fatores primos de $d$ estão contidos no conjunto ${p_1, p_2, ..., p_k}$. Vamos então escrever $d$ como $p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_k^{b_k}$, onde, para todo $0<i<k+1$, temos que $0\le b_i\le a_i$.

Assim, o número de modos de escolhermos um dado $b_i$ seria $a_i+1$. Como a escolha de todos os $b_i$'s implica numa escolha bem definida do nosso $d$, sabemos que o número de modos de escolhermos $d$ (e portanto o número de divisores de $n$) é o mesmo modo de escolhermos um grupo $(b_1,b_2,...,b_k)$, que será $(b_1+1)(b_2+1)...(b_k+1)$.

Avançado

Considere o tabuleiro como uma matriz $13\times13$. Olhe para a diagonal principal e para todas as diagonais do tabuleiro que são paralelas a ela. Contando, temos ao todo $25$ dessas diagonais (contando inclusive as diagonais que contem somente $1$ casinha, que são as que estão no canto direito superior e a no canto esquerdo inferior). Começando pela diagonal que cobre apenas a casa do canto superior direito e indo até a diagonal que cobre só a casa do canto inferior esquerdo, numere as diagonais de $1$ a $25$ em ordem. Veja que, toda vez que vamos de uma casa para uma outra casa vizinha, necessariamente mudamos de uma diagonal $i$ para a diagonal $i+1$ ou para a diagonal $i-1$, ou seja, um deslocamento de exatamente $1$.Como esse descolamento de diagonal resulta em um aumento ou diminuição de $1$ no número presente nas casinhas teremos que números em diagonais de mesma paridade terão mesma paridade e números em diagonais de paridade diferentes terão paridades diferentes. Fazendo o caminho de uma casa com  número $2$ até uma casa de tamanho $24$ temos que passar por ao menos 1 casa que contenha cada um dos números $3,4,5,...,23$ já que o caminho é discreto (cresce ou decresce de $1$ em $1$). Considere um $2$ na diagonal $a$, com $a<13$, sem perda de generalidade. Se houver um $24$ em uma casa de diagonal $b$, sabemos que o menor caminho de nosso $2$ até esse $24$ inclui precisamente $(b-a)+1$ casinhas. Além do mais, sabemos que $a$ e $b$ tem mesma paridade do fato de que $2$ e $24$ tem mesma paridade. Mas, como esse caminho contém as casinhas $2,3,...,24$ teremos que  $|b-a|+1\ge 23$. De $a<13$ obtemos:

$b\ge 22+a$.

Se $a\ge 3$ temos $b\ge 25 \Rightarrow b=25$. Mas na diagonal $25$ só há uma casinha, que nos dá um absurdo, pois temos dois números $24$ no tabuleiro, o que requer ao menos dois espaços possíveis para colocá-lo. Logo $a\le 2$.

Como os números $2$ presentes no tabuleiro tem de ter diagonais de mesma paridade e na diagonal $1$ só há um casinha disponível, concluímos que as duas casas com número $2$ estão na diagonal de número $2$. Desse modo, temos:

$b\ge 24$

Como $b$ tem a mesma paridade de $a$ e $b\le 25$ temos $b=24$ e assim as duas casinhas com número $24$ estão na diagonal de número $24$.

Por fim, veja que todos os caminhos mínimos que levam de uma casinha de com o número $2$ até uma casinha de tamanho $24$ passando exatamente $1$ vez por cada uma das diagonais entre elas (tais caminhos passam por 23 diagonais e portanto contém $23$ números) passam pelos números números $2,3,4,...,23,24$. Logo, podemos concluir que a diagonal $i$ é composta por casinhas com o número $i$ para todo $2\le i\le 24$. Logo, o número de casas com o número $13$ procurado é o número de casas da diagonal de número $13$, que é $13$.