Soluções Matemática - Semana 16

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Iniciante

Para esse problema, apresentaremos uma dica de como resolvê-lo e o encerraremos na semana 18.

Esse é um problema para treinar a sua habilidade de "ter raça", mas também a habilidade de ser esperto para deixar as contas mais fáceis, afinal, ninguém é de ferro.

Escreva o quadrado perfeito x^2 de 5 dígitos em sua representação decimal abcde onde a,b,c,d,e são algarismos e a>0. Pelo enunciado do problema, sabemos que o número bcde é um quadrado perfeito, ou seja, um número da forma y^2. Agora:

x^2=abcde=10^4a+bcde=10^4a+y^2

Daí, segue que:

x^2-y^2=10^4a e por fim (x-y)(x+y)=10^4a.

Veja que agora utilizamos de uma maneira inteligente o fato dos números sugeridos serem quadrados perfeitos. Tente finalizar o problema com essa dica!

Intermediário

Vamos contar o número de modos de escolher um divisor de n:

Ao olhar para um divisor para um divisor d de n logo podemos notar que os fatores primos de d estão contidos no conjunto {p_1, p_2, ..., p_k}. Vamos então escrever d como p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_k^{b_k}, onde, para todo 0<i<k+1, temos que 0\le b_i\le a_i.

Assim, o número de modos de escolhermos um dado b_i seria a_i+1. Como a escolha de todos os b_i's implica numa escolha bem definida do nosso d, sabemos que o número de modos de escolhermos d (e portanto o número de divisores de n) é o mesmo modo de escolhermos um grupo (b_1,b_2,...,b_k), que será (b_1+1)(b_2+1)...(b_k+1).

Avançado

Considere o tabuleiro como uma matriz 13\times13. Olhe para a diagonal principal e para todas as diagonais do tabuleiro que são paralelas a ela. Contando, temos ao todo 25 dessas diagonais (contando inclusive as diagonais que contem somente 1 casinha, que são as que estão no canto direito superior e a no canto esquerdo inferior). Começando pela diagonal que cobre apenas a casa do canto superior direito e indo até a diagonal que cobre só a casa do canto inferior esquerdo, numere as diagonais de 1 a 25 em ordem. Veja que, toda vez que vamos de uma casa para uma outra casa vizinha, necessariamente mudamos de uma diagonal i para a diagonal i+1 ou para a diagonal i-1, ou seja, um deslocamento de exatamente 1.Como esse descolamento de diagonal resulta em um aumento ou diminuição de 1 no número presente nas casinhas teremos que números em diagonais de mesma paridade terão mesma paridade e números em diagonais de paridade diferentes terão paridades diferentes. Fazendo o caminho de uma casa com  número 2 até uma casa de tamanho 24 temos que passar por ao menos 1 casa que contenha cada um dos números 3,4,5,...,23 já que o caminho é discreto (cresce ou decresce de 1 em 1). Considere um 2 na diagonal a, com a<13, sem perda de generalidade. Se houver um 24 em uma casa de diagonal b, sabemos que o menor caminho de nosso 2 até esse 24 inclui precisamente (b-a)+1 casinhas. Além do mais, sabemos que a e b tem mesma paridade do fato de que 2 e 24 tem mesma paridade. Mas, como esse caminho contém as casinhas 2,3,...,24 teremos que  |b-a|+1\ge 23. De a<13 obtemos:

b\ge 22+a.

Se a\ge 3 temos b\ge 25 \Rightarrow b=25. Mas na diagonal 25 só há uma casinha, que nos dá um absurdo, pois temos dois números 24 no tabuleiro, o que requer ao menos dois espaços possíveis para colocá-lo. Logo a\le 2.

Como os números 2 presentes no tabuleiro tem de ter diagonais de mesma paridade e na diagonal 1 só há um casinha disponível, concluímos que as duas casas com número 2 estão na diagonal de número 2. Desse modo, temos:

b\ge 24

Como b tem a mesma paridade de a e b\le 25 temos b=24 e assim as duas casinhas com número 24 estão na diagonal de número 24.

Por fim, veja que todos os caminhos mínimos que levam de uma casinha de com o número 2 até uma casinha de tamanho 24 passando exatamente 1 vez por cada uma das diagonais entre elas (tais caminhos passam por 23 diagonais e portanto contém 23 números) passam pelos números números 2,3,4,...,23,24. Logo, podemos concluir que a diagonal i é composta por casinhas com o número i para todo 2\le i\le 24. Logo, o número de casas com o número 13 procurado é o número de casas da diagonal de número 13, que é 13.

 

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