Matemática - Semana 18

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Iniciante

Se p \neq 5 é um primo ímpar, prove que (p^2-1) ou (p^2+1) é divisível por 10.

Intermediário

Cada ponto de coordenadas inteiras no plano cartesiano é coberto com as cores 1, 2, ..., n. Mostre que existe um retângulo formado com vértices de mesma cor.

Avançado

Considere um tabuleiro a \times b (a \rightarrow horizontal, b \rightarrow vertical). Temos dois tipos de peças: 1 \times m (1 quadrado de altura e m de largura, que só podem ser usadas na horizontal) e n \times 1 ( n quadrados de altura e 1 de largura, que só podem ser usadas na vertical).

Assuma que o tabuleiro foi completamente coberto por essas peças sem sobreposições. Prove que m|a ou n|b.

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