Soluções Matemática - Semana 19

Iniciante

Qualquer número par pode ser escrito na forma $x=2k \Rightarrow x^4=16k^4$, logo um número par elevado a quarta potência deixa resto 0 módulo 16. Da mesma forma vemos que um número ímpar pode ser escrito na forma $x=2k+1 \Rightarrow x^4 (2k+1)^4=16k^4+4(8k^3)+6(4k^2)+4(2k)+1=16(k^4+2k^3)+8(3k^2+k)+1=16(k^4+2k^3)+8(k(3k+1))+1$, mas veja que $k(3k+1)$ é par, pois caso $k$ não seja par, então $3k+1$ será! Dessa forma: $16\mid 8k(3k+1)$ e qualquer ímpar elevado à quarta potência deixa resto 1 na divisão por 16. Entretanto, se analisarmos a equação do enunciado no módulo $16$ temos que: $x_1^4+x_2^4+...+x_{14}^4\equiv 15\pmod{16}$ e claramente não existem $x_1,x_2,...,x_n$ que satisfazem, pois cada um deles só pode ser zero ou um e a soma máxima, consequentemente, será $14$.

Intemediário

Como (5,0,0) majora (3,1,1), por Muirhead temos que $\sum_{sym} x^5 \ge \sum_{sym} x^3yz \Rightarrow x^5+y^5+z^5 \ge x^3yz+y^3xz+z^3xy$.

Avançado

Suponha o contrário. Seja $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ uma função que satisfaz as três condições do enunciado. Escreva $f(3)=l$. Usando $2^3<3^2$ temos,

$3^3 = f(2)^3 = f(2^3) < f(3^2) = f(3)^2 = l^2 \Rightarrow l>5$.

Similarmente usando $3^3<2^5$ temos,

$l^3 = f(3)^3 = f(3^3) < f(2^5) = 3^5 = 243 < 343 = 7^3$.

Isso implica $l<7$. Portanto $l=6$, isto é $f(3)=6$. No entanto $3^8 = 6561 < 8192 = 2^{13}$. Novamente temos,

$6^8 = f(3^8) < f(2^{13}) = 3^{13}$

Portanto $2^8<3^5$. Mas $2^8=256$ e $3^5=243$, porém $256<243$ é um absurdo, logo não existe nenhuma função que satisfaz as condições do enunciado.