Soluções Matemática - Semana 19

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Iniciante

Qualquer número par pode ser escrito na forma x=2k \Rightarrow x^4=16k^4, logo um número par elevado a quarta potência deixa resto 0 módulo 16. Da mesma forma vemos que um número ímpar pode ser escrito na forma x=2k+1 \Rightarrow x^4 (2k+1)^4=16k^4+4(8k^3)+6(4k^2)+4(2k)+1=16(k^4+2k^3)+8(3k^2+k)+1=16(k^4+2k^3)+8(k(3k+1))+1, mas veja que k(3k+1) é par, pois caso $k$ não seja par, então $3k+1$ será! Dessa forma: 16\mid 8k(3k+1) e qualquer ímpar elevado à quarta potência deixa resto 1 na divisão por 16. Entretanto, se analisarmos a equação do enunciado no módulo 16 temos que: x_1^4+x_2^4+...+x_{14}^4\equiv 15\pmod{16} e claramente não existem x_1,x_2,...,x_n que satisfazem, pois cada um deles só pode ser zero ou um e a soma máxima, consequentemente, será 14.

Intemediário

Como (5,0,0) majora (3,1,1), por Muirhead temos que \sum_{sym} x^5 \ge \sum_{sym} x^3yz \Rightarrow x^5+y^5+z^5 \ge x^3yz+y^3xz+z^3xy.

Avançado

Suponha o contrário. Seja f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} uma função que satisfaz as três condições do enunciado. Escreva f(3)=l. Usando 2^3<3^2 temos,

3^3 = f(2)^3 = f(2^3) < f(3^2) = f(3)^2 = l^2 \Rightarrow l>5.

Similarmente usando 3^3<2^5 temos,

l^3 = f(3)^3 = f(3^3) < f(2^5) = 3^5 = 243 < 343 = 7^3.

Isso implica l<7. Portanto l=6, isto é f(3)=6. No entanto 3^8 = 6561 < 8192 = 2^{13}. Novamente temos,

6^8 = f(3^8) < f(2^{13}) = 3^{13}

Portanto 2^8<3^5. Mas 2^8=256 e 3^5=243, porém 256<243 é um absurdo, logo não existe nenhuma função que satisfaz as condições do enunciado.

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