Soluções Matemática - Semana 2

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Iniciante (Solução por Daniel Lima Braga)

Se você tentar observar um padrão, vai ver que os valores obtidos em cada soma são os quadrados perfeitos, logo, nosso palpite sortudo seria A=2007^2 e daí a nossa resposta seria \dfrac{A^2}{223^2}=\dfrac{2007^2}{223^2} = 9^2=81.

Porém um chute não vale! Isso foi só para ter uma ideia de onde queremos chegar. O que vamos usar usar aqui é algo muito importante: Soma de Gauss. O fato é que 1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Daí chegaríamos que

A=1+2+...+2006+2007+2006+...+2+1=(1+2+...+2007) + (1+2+...+2006) =\dfrac{2007\cdot 2008}{2} +\dfrac{2006 \cdot 2007}{2} =2007 \cdot \dfrac{2008+2006}{2} =2007^2

Ótimo, falta só provar a soma de Gauss!

Ela é a parte mais legal do problema. Seja S a soma de 1 até n.

Logo: 1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n=S n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1=S E somando a expressão de cima com a de baixo, termo a termo, temos: (n+1)+(n+1)+...+(n+1)=2S \Longrightarrow n(n+1)=2S \Longrightarrow S=\dfrac{n(n+1)}{2} e assim concluímos nosso problema.

Intermediário (Solução por Daniel Lima Braga)

Ao ir de B para C podemos passar por 1, 2, 3, 4 , 5 ou 6 das cidades A_i's. Suponha que ele passou por x cidades entre C. Daí saindo de B, temos 6 modos de escolher a cidade seguinte, depois teremos 5 modos de escolher a próxima cidade, ...,teremos (7-x) modos de escolher a última cidade antes de C e daí chegamos em C. Ou seja, dado que passamos por x cidades entre B e C, temos 6 \cdot 5 ...(7-x) modos de fazer nossa trajetória. Logo o total de trajetórias é a soma dessas expressões que achamos quando x varia de 1 a 6, que vai dar: 6+6\cdot 5+6\cdot 5\cdot4 +6\cdot 5\cdot4 \cdot 3+6\cdot 5\cdot4 \cdot 3\cdot 2+6\cdot 5\cdot4 \cdot 3\cdot 2\cdot 1=1956

Avançado (Solução por Daniel Lima Braga)

Vamos analisar algumas congruências para obter informações sobre a e b. Analisando a equação dada módulo 3 e lembrando que 5\equiv (-1) (mod.3) vemos que: 4\cdot 3^a=11+5^b \Longrightarrow 0\equiv 2+(-1)^b (mod.3) \Longrightarrow b  é par.

Veja que as potências de 3 tem período 4 em relação à congruência módulo 5: 3^1 \equiv 3(mod.5) 3^2 \equiv 4(mod.5) 3^3 \equiv 2(mod.5) 3^4 \equiv 1(mod.5) 3^5 \equiv 3(mod.5) ...

Agora, analisando a equação dada módulo 5, obtemos que 4\cdot 3^a=11+5^b \Longrightarrow 4\cdot 3^a\equiv 1 (mod.5) \Longrightarrow 3^a \equiv 4(mod.5) \Longrightarrow adeixa resto 2 por 4 e desse modo é par.

Faça a=2c e b=2d. Agora 4\cdot 3^a=11+5^b \Longrightarrow 4\cdot 3^{2c}=11+5^{2d}\Longrightarrow 11=(2\cdot 3^c)^2-(5^d)^2\Longrightarrow 11=(2\cdot 3^c +5^d)(2\cdot 3^c -5^d)

Como 11 é primo, um dos parentenses será 11 e o outro erá 1. Como 2\cdot 3^c -5^d <2\cdot 3^c +5^d (2\cdot 3^c +5^d)=11 (2\cdot 3^c -5^d)=1

Somando as duas equações teremos que 4\cdot3^c = 12 \Longrightarrow c=1 e substituindo c na primeira equação teremos que d=1 também.

Daí a=b=2 é solução única para o problema.

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