Soluções Matemática - Semana 20

Iniciante

Seja $d=mdc(x,y)$ e chame $x=x_1 \cdot d$ e $y=y_1 \cdot d$ de forma que $mdc(x_1,y_1)=1$. Logo: $a = \dfrac{x^2+y^2}{xy} = \dfrac{d^2(x_1)^2+d^2(y_1)^2}{d^2 x_1y_1} = \dfrac{x_1^2+y_1^2}{x_1y_1}$ e consequentemente, $x_1\mid y_1^2$ e $y_1\mid x_1^2$ e não há outra opção além de $x_1=1$ e $y_1=1$: $a=\dfrac{1^2+1^2}{1\cdot 1}=2$.

Itermediário:

Sim. Tomando $n=10111111111$, temos $n^2=102234567898987654321$.

Avançado:

Temos $2\cdot3^x = 7^y - 1$. Note que a maior potência de $3$ que divide $7-1$ é $3$. Seja $3^m$ a maior potência de $3$ que divide $y$. Então, pelo lema de Hensel, a maior potência de $2$ que divide $7^y-1$ é $3^{m+1}$. Logo $x \le m+1$. Observando ainda que, como $3^m$ divide $y$, $3^m \le y$,

$2\cdot3^{m+1} \ge 2\cdot3^x = 7^y-1 \ge 7^{3^m} - 1$.

Deste modo, sendo $t=3^m$, temos $6t \ge 7^t - 1 \Longleftrightarrow 7^t \le 1+6t$, que é verdadeiro para $t=0$ e $t=1$ mas falso para $t>1$, pois nesse caso $7^t = (6+1)^t > \left( {\begin{array}{*{20}c} t \\ 0 \\ \end{array}} \right)1^t + \left( {\begin{array}{*{20}c} t \\ 1 \\ \end{array}} \right)1^{t-1}\cdot6 = 1 + 6t$. Notando que $t=3^m$e que ocorre a igualdade para $t=1$, temos $m=0$ e que todas as desigualdades anteriores são igualdades, isto é, $x=m+1=1$ e $y=3^m=1$.